[科普中国]-方差最大化旋转

方差最大化旋转是在主成分分析或因子分析中使用的一种方法，通过坐标变换使各个因子载荷的方差之和最大。通俗地说，就是(a)任何一个变量只在一个因子上有高贡献率，而在其它因子上的载荷几乎为0；(b)任何一个因子只在少数变量上有高载荷,而在其它变量上的载荷几乎为0。

方差旋转矩阵方差旋转矩阵是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果并保持了手性的矩阵。旋转矩阵不包括点反演，点反演可以改变手性，也就是把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。旋转可分为主动旋转与被动旋转。主动旋转是指将向量逆时针围绕旋转轴所做出的旋转。被动旋转是对坐标轴本身进行的逆时针旋转，它相当于主动旋转的逆操作。

二维空间在二维空间中，旋转可以用一个单一的角定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转的矩阵是：

三维空间在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。

3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。

方差最大化旋转的数学表示方差最大化旋转是在主成分分析或因子分析中使用的一种方法，通过坐标变换使各个因子载荷的方差之和最大。1通俗地说，就是：

(a)任何一个变量只在一个因子上有高贡献率，而在其它因子上的载荷几乎为0；

(b)任何一个因子只在少数变量上有高载荷,而在其它变量上的载荷几乎为0.果满足这个条件的因子载荷矩阵称为具有“简单结构”。

方差最大化旋转就是用来将载荷矩阵旋转到尽量接近简单结构的方法。从这组变量代表的样本看来，方差最大化旋转找到了一种表示样本的最简单的方法，即每个样本可以用少数变量的函数的线性组合表示。

方差最大化的一种数学表达为：

这个方法是Henry Felix Kaiser在 1958 提出的，是一种常用的正交旋转方法（旋转后各因子仍保持线性不相关）。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所