[科普中国]-海森堡绘景

海森堡绘景是量子力学的一种表述。这表述的算符（可观察量和其它算符）相依于时间，而量子态则不相依于时间。海森堡绘景与薛定谔绘景有很明显的差异。薛定谔绘景表述的算符是常数，而量子态则随着时间演化。虽然有这些差异，两种绘景只是不同于依赖时间的基底的改变。两种绘景的测量统计结果完全相同。这是必然的。因为，它们都是在表达同样的物理现象。

介绍海森堡绘景是量子力学的一种表述。这表述的算符（可观察量和其它算符）相依于时间，而量子态则不相依于时间。海森堡绘景与薛定谔绘景有很明显的差异。薛定谔绘景表述的算符是常数，而量子态则随着时间演化。虽然有这些差异，两种绘景只是不同于依赖时间的基底的改变。两种绘景的测量统计结果完全相同。这是必然的。因为，它们都是在表达同样的物理现象。海森堡绘景是矩阵力学在一个任意基底的表述。其哈密顿量不一定是对角的。

数学细节在量子力学里，海森堡绘景表述的量子态 不相依于时间1，可观察量 满足海森堡方程：

；

其中， 是约化普朗克常数， 是哈密顿量， 是 与 的对易算符。在有些方面，我们感觉海森堡绘景会比薛定谔绘景更自然，更具有基础性。特别是在表述相对论的时候，海森堡绘景显然的表露出洛伦兹不变性。

更加地，海森堡绘景表述的量子力学与经典力学的相似可以很容易的观察到：将对易算符改为泊松括号，海森堡方程立刻就变成了哈密顿力学里的运动方程。

史东-冯诺伊曼理论 (Stone-von Neumann theorem) 证明海森堡绘景与薛定谔绘景是等价的。

导引海森堡方程设定可观察量 （一个厄米算符）。处于时间 的量子态，其可观察量的期望值是

。

根据薛定谔绘景，

。

那么，

。

定义相依于时间的算符 ，

。

随时间的导数是

。

所以，

。

应用算符恒等式：

。

对于不相依于时间的，我们得到

。

由于泊松括号与对易算符的关系，在哈密顿力学里，这方程也成立。

对易关系很明显地，由于算符的相依于时间，对易关系在海森堡绘景里跟在薛定谔绘景里有很大的差异。例如，思考算符 与。这些算符随时间的演化，相依于系统的哈密顿量。一维谐振子的哈密顿量是

。

位置算符和动量算符的演化方程分别为

，

。

再求这两个方程随时间的导数，

，

。

设定初始条件为

，

。

二次微分方程的解答分别是：

，

。

稍加运算，可以得到海森堡绘景里的对易关系：

，

，

。

请注意，假若 ，我们立刻会得到熟悉的正则对易关系。

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所