[科普中国]-富比尼–施图迪度量

在数学中，富比尼–施图迪度量（Fubini–Study metric）是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式的复射影空间 CPn。这个度量最先由圭多·富比尼与爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。

构造富比尼–施图迪度量自然出现于复射影空间的商空间构造。1

具体地，可以定义CPn由Cn+1中复直线组成的空间，即C****n+1在将一点与其所有复数倍联系在一起的等价关系下的商。这与在乘法群C*****=C\ {0} 的对角群作用下的商相同：

这个商将Cn+1实现为底空间CPn上的复线丛（事实上这就是CPn上所谓的重言丛）。CPn中的一点等同于 (n+1)-元组 [Z0,...,Zn] 模去非零复缩放的一个等价类；这些Zi称为这个点的齐次坐标。

进一步，我们可以分两步实现这个商：因为乘以一个非零复数z=R e可以惟一地想成一个以模长R为因子的缩放与沿着原点一个逆时针旋转角度 的复合，商Cn+1→CPn分成两块。

其中第 (a) 步以正实数乘法群R+的缩放Z~RZ，这里R∈R+，作商；步骤 (b) 是关于旋转Z~ejθZ的商。第 (a) 步所得的商是由方程 |Z| 2= |Z0|2 +...+|Zn| 2=1 所定义的实超球面S2n+1。第 (b) 步的商实现为CPn=S2n+1/S1，这里S1表示旋转群。这个商由著名的霍普夫纤维化S1→S2n+1→CPn实现 ，纤维属于 中的大圆。

曲率性质在n= 1 的特例，富比尼–施图迪度量具有恒等于 4 的数量曲率，因为它与 2-球面的圆度量等价（半径R球面的数量曲率是 ）。但是，对n> 1，富比尼–施图迪度量没有常曲率。其截面曲率由下列方程给出2

这里 是 2-维平面 σ 的一个标准正交基，J:TCPn→TCPn是CPn上的复结构，而 是富比尼–施图迪度量。

富比尼–施图迪度量经常称为有等于 4 的常全纯截面曲率。这使CPn成为一个（非严格的）四分之一拼挤流形（quarter pinched manifold）；一个著名的定理指出严格四分之一拼挤单连通n-流形一定同胚于球面。富比尼–施图迪度量也是一个爱因斯坦度量，它与里奇张量成比例：存在一个常数 λ 使得对所有i,j我们有

除此以外，这蕴含着，在差一个数量相乘的意义下，富比尼–施图迪度量在里奇流下不变。这也使CPn与广义相对论不可分离，它是真空爱因斯坦方程的一个非平凡解。

量子力学富比尼–施图迪度量可以用量子力学中广泛使用的狄拉克符号，或代数几何中的射影簇记号来定义。为了将两种语言清楚地等同起来，令

这里 是希尔伯特空间的一个正交规范基向量集合， 是复数，而是射影空间 中一点在齐次坐标中的标准记号。那么，给定空间中两点 与 ，它们之间的距离是

或等价地，在射影簇记号中，

这里 是 的复共轭。分母中出现的提醒了 以及类似的 不是单位长规范化的；故这里明确地做了一个规范化。在希尔伯特空间中，此度量可相当平凡地理解为两个向量之间的角度；故它又称为量子角（quantum angle）。这个角度是实值的，取值于零到。

通过取，或等价地，马上可以等到这个度量的无穷小形式

在量子力学中，CP叫做布洛赫球面；富比尼–施图迪度量是量子力学几何化的自然度量。量子力学的许多独特的行为，包括量子纠缠和贝里相位（Berry phase）效应，可以归于富比尼–施图迪度量的特性。

乘积度量通常的可分性概念适用于富比尼–施图迪度量。更准确地讲，此度量在射影空间的自然乘积塞格雷嵌入（Segre embedding）中是可分的。这是说如果是一个可分态，从而可以写成 ，则度量是子空间上度量之和：

这里是在子空间A与B上各自的度量。

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杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所