[科普中国]-拟因子设计

拟因子设计和拟水平设计一样，也是为了解决水平数不同的多因子试验问题，而拟因子设计的思想是将水平数较多的因子排入水平数较少的正交表中，其中较常用的是把3水平因子排入2水平正交表1。

基本介绍拟因子设计是指在水平数较少的正交表上安排某些水平数较多的因子的试验的设计方法，多见于将三水平因子排入二水平正交表的情形。其作法是，由正交表的两列(或若干列)组合成一个含较多水平的新列，将相应水平数的因子排入。例如，欲在正交表L8(27)(参见“正交表”)上安排一三水平因子，将其第2和第3列 作如下变换可以得到一个三水平的新列2：

|| || 表1

亦可利用其他对应关系构造新列，原则以重要水平重 复次数居多为佳。拟因子设计的试验结果的统计分析有所改变：新列自由度较老列增加(仍为水平数减1)；一般平均和新列效应的估计量是有偏的，不过仍具有可比性；工程平均的估计量是无偏的2。

相关说明与距离举例拟因子法的特点，在于能够将水平数较多的因子排入水平数较少的正交表中，这对不是乘幂关系且相差不大的两种水平比较实用。最常见的是把三水平因子排入二水平正交表中3。

试考虑下列三个因子

其中A、C为二水平，B是三水平。如果要排入L8(27)表，则必须对正交表进行一定改造才行。

注意：A,C是二水平，在L8(27)表中其主效应各占一列，B是三水平，它的自由度 ，应该在 表中占两列。

先从 表中取出2列，例如2、3两列。其同一横行数对为(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)四种。

令 (1，1)为1 (1，2)为2

(2，1)为3 (2，2)为2

当然，对应关系的规定是任意的，一般将其认为重要的那个水平对应于两种数对。这样，2、3两列便变成一个三水平列，可将因子B安排上去。由于2、3两列的交互作用列是第一列，如果在这一列上安排一个二水平因子A，在第4列安排因子C，则为表2的设计。

|| || 表2 L8(27)表作拟因子设计举例

对这个设计，可用前四行A因子为A1时的考查指标比较B1与B2，用后四行A因子为A2时考查指标比较B2与B3。但是，这时B1和B3就不能直接比较，因为比较B1与B3的关系式 ，既是B3与B1的平均差，又A2与A1一部分指标的平均差，这两种平均差混杂在一起没法区分3。

看一看表中B因子与C因子的关系，可以知道它们是不会发生上述问题的。根本原因在于第一列为原 表第二、三两列的交互列，而第四列不是二、三两列的交互列。因而我们得到一条经验：在二水平正交表中，用某两列构成一个三水平列后，该两列的交互作用列不再适宜安排其他因子。

这样，只得将因子A另作安排，原来的第一列就让它闲着，叫它“赋闲”。这一列就称为赋闲列。结果使 表被改造为下列形式；

|| ||

安排好各个因子后，查 表的交互作用表，可以确定被改造为三水平的这个列与其他列的因子交互作用列表。由于三水平因子的交互作用应占两列，它就是原 表的第二、三两列分别与其他排有因子的列的交互作用列之和，如上表中B与A的交互作用列为第六与第七列。

用二水平正交表作拟因子设计，把任意两列改造成一个新列后，这两列的交互作用列必须“赋闲”。于是，在二水平正交表中，当安排二个以上的三水平因子作拟因子设计时，使改造后的几个新列共有一个赋闲列，便可提高正交表的使用效率3。

例如： 表的2、3列的交互列为1列，4、5列的交互列也是第一列，如果有两个三水平因子时，对 表做拟因子设计，把2、3列与4、5列分别改造成两个三水平列，这样只赋闲一个列，即第一列。假如把2、3列改造为一个三水平列，再将4、8列改造为另一个三水平列，则必须将1列和12列同时“赋闲”，这种设计损失的效应列就多了。

拟因子设计后，各项效应计算略有不同，这要注意两点。

1.未改造列的效应计算与正交表原来各列的效应计算一样。

2.改造为多水平后的列的效应计算应有所校正。

比如前面 表作拟因子设计后，第一列赋闲，2、3列被改造为一个新的三水平列，可安排一个三水平因子，其他各列没有改造。这时，三水平因子安排在改造了的新列中，它的三个水平效应分别计算为

B0就是这个改造列的效应计算的校正项。

对于一般 正交表的拟因子设计，改造后的三水平列效应计算可用文字来表达。

如某拟因子设计，R是一个三水平因子，被安排在 表被改造的三水平列中，其R2水平试验较R1和R3为多，它的各水平效应的计算是

校正项= [R2对应于赋闲列的“1”水平的数据之平均值-R2对应于赋闲列的“2”水平的数据之平均值]3。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所