[科普中国]-分片插值

分片插值(piecewise interpolation)是根据单元插值形成总体插值的方法，属于给定区域口上的函数及区域口的一个剖分。

插值模型当数据量不足，需要补充，且认定已有数据可信时，通常利用函数插值方法建立插值模型。

目标：根据一组观测数据寻找函数关系。

具体方法：

Langrange插值、线性插值、二次插值等

一维插值：

1、分段线性插值；

2、分段三次插值；

3、分段三次样条插值。

二维插值：

1、规则格点；

2、不规则散点。1

分片插值易出现的问题高次插值的龙格现象：

如下图所示，插值多项式余项公式说明插值节点越多，一般说来误差越小，函数逼近越好，但这也不是绝对的，因为余项的大小既与插值节点的个数有关，也与函数f(x)的高阶导数有关。换句话说，适当地提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度，但并非插值多项式的次数越高越好。当插值节点增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善，有时反而误差更大。

该现象表明,在大范围内使用高次插值,逼近的效果往往是不理想的。

另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。

分片插值中的散乱节点插值Shepard方法反距离加权平均法，或称为Shepard方法。

基本思想：在点(x, y)≠(xi,yi)，定义其插值函数的函数值为节点处函数值按(x, y)与节点距离的某种形式反比作为权重的加权平均,即某一点的函数值受周围各点的影响,较近的点影响较大,较远的点影响较小,其影响权数与距离平方成反比。

Kriging插值法概要：

1.它建立在地质统计学理论基础上

2.利用区域化变量的原始数据和半方差函数的结构特征,对位采样点的区域化变量的取值进行线性最佳无偏估计。

Kriging插值方法的基本步骤：

1.该方法中衡量各点之间空间相关程度的测度是半方差。

2.在不同距离的半方差值都计算出来后，绘制半方差图，横轴代表距离，纵轴代表半方差。

利用做出的半方差图找出与之拟合的最好的理论变异函数模型（这是关键所在），可用于拟合的模型包括高斯模型、线性模型、球状模型、指数模型、圆形模型。

3. 利用拟合的模型估算未知点的属性值。2

本词条内容贡献者为:

王宁 - 副教授 - 西南大学