[科普中国]-正交因子模型

正交因子模型(orthogonal factor model)是一种特殊的公共因子模型。正交因子模型的基本假设是：各个公共因子间相互独立；各个特殊因子间相互独立；各个公共因子与各个特殊因子间相互独立1。

数学模型设有p维可观测的随机向量 ，其均值为 ，协方差矩阵为 。因子分析的一般模型为

其中 为公共因子， 为特殊因子，它们都是不可观测的随机变量。公共因子 出现在每一个原始变量 的表达式中，可理解为原始变量共同具有的公共因素；每个公共因子 一般至少对两个原始变量有作用，否则可考虑将它归人特殊因子。每个特殊因子 仅仅出现在与之相应的第i个原始变量 的表达式中，它只对这个原始变量有作用。(1)式可用矩阵、向量表示为

式中 为公共因子向量， 为特殊因子向量， 称为因子载荷矩阵。通常假定

该假定和关系式(2)构成了正交因子模型。由上述假定可以看出，公共因子彼此不相关且具有单位方差，特殊因子也彼此不相关且和公共因子也不相关2。

正交因子模型的性质1． 的协方差矩阵 的分解

由(2)、(3)知

这就是 的一个分解。如果A只有少数几列，则上述分解式揭示了 的一个简单结构。由

于D是对角矩阵，故 的非对角线元素可由A的元素确定，即因子载荷完全决定了原始变量

之间的协方差。如果 为各分量已标准化了的随机向量，则 就是相关矩阵R，即有

分解式(4)是在 满足正交因子模型的假定下推导出的，而对一般未作此假定的 ，(4)式是不容易准确得到的。当m=p时，任何协方差矩阵 均可按(4)式进行分解，如可取 ，但此时的分解对因子分析来说是毫无意义的，因为进行因子分析的目的就是要降维。在因子分析的大多数应用中，出于降维的需要，我们希望m要比p小得多，通常只能使这种分解近似成立，近似程度越好，表明因子模型拟合得越佳2。

2．模型不受单位的影响

将 的单位作变化，通常是作一变换 ，这里C=diag( )， ，于是

令 ，则有

这个模型能满足完全类似于(3)式的假定，即

其中 。因此，单位变换后新的模型仍为正交因子模型2。

3．因子载荷是不唯一的

设T为任一m×m正交矩阵，令 ，则模型(2)能表示为

因为

所以仍满足条件(3)。从(4)或(6)式都可看出， 也可分解为

显然，因子载荷矩阵A不是唯一的，在实际应用中常常利用这一-点,通过因子的旋转使得新的因子有更好的实际意义2。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学