[科普中国]-高斯引理

两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

高斯引理(Gauss lemma )多项式理论的主要命题之一即任意两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。1由高斯引理可知，任一非零的整系数多项式如果能够分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，则它一定能够分解为两个次数较低的整系数多项式的乘积.高斯引理在研究有理系数多项式的因式分解与有理根中起着重要的作用。高斯(Gauss , C. F.)引人了本原多项式的概念，并且给出了这个引理。

引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

证明设，是两个本原多项式，而是它们的乘积。我们用反证法。如果不是本原的，也就是说，的系数有一异于的公因子，那么就有一个素数能整除的每一个系数。因为是本原的，所以不能同时整除的每一个系数。令是第一个不能被整除的系数，同样地，也是本原的，令是第一个不能被整除的系数。我们来看的系数,由乘积定义。由上面的假设，整除等式左端的，整除右端以外的每一项，但是不能整除这是不可能的。这就证明了，一定也是本原多项式。1

例子例：，

均是本原多项式，其乘积还是本原多项式。

本词条内容贡献者为:

朱坤平 - 副教授 - 华东理工大学