[科普中国]-协变张量

协变张量(covariant tensor)是指所有指标都是协变的张量。既有协变又有逆变的张量为混合张量。

（协变）张量的定义坐标系的变换关系仅讨论笛卡儿右手直角坐标系。

旧坐标系： 单位基矢量： ；

新坐标系： 单位基矢量： ，如图1所示1。

新旧基矢量夹角的方向余弦：

坐标系的(标架)变换关系(旧表新)：

其中

为变换系数矩阵，（2）也可表示为

坐标系的(标架)变换关系(新表旧)：

其中

为矩阵(3)的逆，(4)也可表示为

标量(纯量Scalar)标量在坐标变换时其值保持不变，即满足

如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。

问题：时间是否标量?(答案：是标量，可以用一个数字表示。)

注 标量是0阶张量。

协变矢量矢量在坐标变换时一般要改变，满足以下变换关系的三个量 定义一个矢量：

设为任意矢量，其在新、旧坐标系下的(协变)分量分别为 和 ，即 ，所以

得

而

得

可见矢量的变化规律与坐标架变换(2)一致，故为协变。代人上式(换哑指标)，

得

比较上式两边，得

即该变换是正交的。

推广到协变张量将矢量定义加以推广：(增加指标和相应的变换系数)

对于直角坐标系 ，有9个量 按照(协变)关系

变换成 ，中的9个量 ，则此9个量定义一个二阶(协变)张量。

各阶(协变)张量小结：

——零阶张量(标量)

——一阶张量(向量)

——二阶张量

——三阶张量

——n阶张量

二阶张量的另一种定义：

二阶张量T是把任意一个矢量 变换成另一个矢量b的线性变换，表达式为

而且具有下列线性性质：

加法：

标乘： (其中 )1。

向量空间的张量代数向量空间的张量代数(tensor algebra of vector space)是由向量空间与其对偶空间的张量积直和所构成的代数。向量空间V的 型张量空间 定义为

其中 ， 是V的对偶空间，对于这样一些向量空间取直和

则在张量积的运算之下，T(V)成为一个代数，称为向量空间V的张量代数2。

T(V)中的元素称为张量，它是各个 中的元素关于R的有限线性组合， 中的元素称为r阶反变张量， 中的元素称为s阶协变张量， 中的元素称为 阶齐次张量。

设 与 分别是V和V*彼此对偶的基底，则

是 的基底。因此， 型张量x可以惟一地表成

其中 称为张量x在上述基底下的分量。

处理张量时，通常采用爱因斯坦的和式约定：在一个单项表达式中出现重复的上、下指标，表示该式关于这个指标在它的取值范围内求和，而略去和号不写，采用这个约定，上述张量x可写成

设x是 型张量，y是 型张量，则它们的积 是 型张量2。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学