[科普中国]-实数公理系统

实数公理是定义实数的一种途径。按照它，所谓实数系就是定义了两种二元运算（加法与乘法）和一种次序关系（>）的集合，并且这些运算和次序满足规定的公理，由这些公理可以推出实数的一切性质。

简介实数公理是定义实数的一种途径。按照它，所谓实数系就是定义了两种二元运算（加法与乘法）和一种次序关系（>）的集合，并且这些运算和次序满足规定的公理，由这些公理可以推出实数的一切性质。

具体内容实数公理的具体内容如下：

设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数：

(I)域公理

对任意 a，b∈R ，有 R 中惟一的元素 a+b 与惟一的元素 a·b 分别与之对应，依次称为 a ， b 的和与积，满足：

1.（交换律） 对任意 a，b∈R ，有a+b=b+a，a·b=b·a 。

2.（结合律） 对任意 a，b，c∈R ，有a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c 。

3.（分配律） 对任意a，b，c∈R，有(a+b)·c=a·c+b·c 。

4.（单位元） 存在R中两个不同的元素，记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的a∈R，有a+0=a，a·1=a 。

5.（逆元） 对每个 a∈R ，存在 R 中惟一的元素，记为 -a ，称为加法逆元；对每个 a∈R\{0} ，存在 R 中惟一的元素，记为 a-1 ，称为乘法****逆元，使a+(-a)=0，a·a-1=1 。

(II) 序公理

**(a)**在任意两个元素 a，b∈R 之间存在一种关系，记为“>”，使对任意 a，b，c∈R ，满足：

1.（三歧性）a>b,b>a,a=b 三种关系中必有一个且仅有一个成立。

2.（传递性） 若 a>b 且 b>c 则 a>c 。

3.（与运算的相容性） 若 a>b，则 a+c>b+c；若 a>b，c>0 则 ac>bc 。

**(b)**在任意两个元素 a，b∈R 之间存在一种关系，记为“ ”，使对任意 a，b，c∈R ，满足：

1.（反对称性） 若 a b 且 b a 那么 a=b 。

2.（传递性） 若 a b 且 b c 则 a c 。

3.（与运算的相容性）若 a b，则 a+c b+c ；若 a 0 且 b 0，则 ab 0 。

注：对于序公理a，b这两种描述是等价的。因为我们可以通过其中一个符号及其性质来定义另一个符号。

(III)(1) 阿基米德公理（也称阿基米德性质，它并不是严格意义上的公理，可以由连续性公理证明。在欧几里得的几何书中，它仅被描述为一个命题）。

阿基米德公理：对任意a，b∈R，a>0 存在正整数 n ，使 na>b 。

****(III)(2)完备性公理

R中的任何基本列都在R中收敛。

称满足公理组I的集为域；满足公理组I与II的集为有序域；满足公理组I，II**与(III)(1)的集为阿基米德有序域；满足公理组I～III的集为完备阿基米德有序域或完备有序域**。这样，实数系就是完备阿基米德有序域。所有有理数的集合Q就是阿基米德有序域，但它不满足完备性公理。根据域公理，可以定义实数的减法和除法，并证明四则运算的所有性质。序公理的1与2表明关系“>”是R的全序。

用域公理和序公理可以定义正数、负数、不等式、绝对值，并证明它们具有通常的运算性质。加上阿基米德公理与完备性公理，可以证明实数的其他性质以及幂、方根、对数等的存在性。实数公理有多种不同的提法，常见的另一种提法是把公理组III****换成

****(III)’连续性公理（戴德金公理）

若 A，B 是 R 的非空子集且 A∪B=R ，又对任意的 x∈A 及任意的 y∈B 恒有 x