[科普中国]-累次极限

与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础。但因自变量个数的增多，导致二元函数的极限要比一元函数的极限复杂很多。求累次极限实质上是求两次一元函数的极限，因此，累次极限又称二次极限。需要注意的是：累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系。

定义和例子定义1设 ， 在 轴、 轴上的投影分别为 ，即

分别是 的聚点。若对每一个 ，存在极限 ，它一般与 有关，故记作

如果进一步还存在极限

则称此极限 为 先对 ，后对 的累次极限1，记作

类似地可以定义先对 后对 的累次极限

对于两个自变量 同时以任何方式趋于 ，即

这种极限也称为重极限。

累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系。下面两个例子将说明这一点。

例1设 ，它关于原点的两个累次极限分别为

与

当沿斜率不同的直线 ，容易验证所得极限也不同。因此该函数的重极限不存在。

例2设 ，它关于原点的两个累次极限都不存在。这是因为对任何 ，当 时 的第二项不存在极限。同理，对任何 ，当 时 的第一项也不存在极限。但是由于

故 的重极限存在，且

重极限与累次极限之间的联系定理1若 在点 存在重极限

与累次极限

则它们必相等。

推论1若累次极限

和重极限

都存在，则三者相等。

推论2若累次极限

存在但不相等，则重极限 必不存在。

定理1保证了在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等，但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学