[科普中国]-多维空间主成分分析法

图像降噪方法概要

图像去噪算法从不同处理域的角度，可以划分为空域和频域两种处理方法。前者是在图像本身所在的二维空间内对其进行处理，空域处理算法根据不同的性质又可以分为线性滤波算法和非线性滤波算法。而频域处理方法则是用一组正交函数系来逼近原始信号函数，并确定相应的系数，从而将对原始信号的分析转化到了系数空间域，即频域中进行1。

空间域的线性滤波算法的理论发展较为成熟，其优点是数字分析简单，对滤除与信号不相关的随机噪声效果显著，但是它本身也存在着明显的缺陷，如需要随机噪声的先验统计知识，对图像边缘细节保护能力较差等。而与线性滤波相对应的非线性滤波大都考虑到了人的视觉标准和最佳滤波准则，提高了图像分辨率和边缘保护能力，特别是一些改进后的非线性滤波方法一般都具有了一定的自适应性，这就使得非线性滤波的功能更为强大，可以广泛地应用到医学、遥感等领域的图像处理中。1971年，Turkey提出了中值滤波的思想，并首先应用于时间序列的分析中，后来这种方法被引入到函像处理中，用来滤除图像的噪声，收到了良好的效果。随之而来的是各种中值滤波的改进方案。数学形态学和统计学的引入为数字滤波技术开辟了新的途径。

通过对机器视觉研究的不断深入，人们开始重视偏微分方程的数学理论，在这个领域的实质性开创工作应该归功于和各自独立的工作，他们在图像中引入了尺度空间严格的理论，使之成为偏微分方程在数字图像处理学应用的基础。而在偏微分方程理论应用于数字信号非线性滤波领域中最有影响的人物是Witkin。他提出了一种具有非线性滤波能力的偏微分方程，在图像去噪和边缘保护上获得了良好的效果。后来基于他的理论将这种方程发展成为各向异性扩散方程，进一步提升了去噪能力，并且具有中值滤波、数学形态学滤波以及很多传统算法不具备的图像边缘保护功效。因此这些方法在不久以后被广泛的应用于医学、遥感图像的滤波去噪处理中，获得了令人满意的结果。

基于频域的数字滤波方法最早可以追溯到傅立叶变换的使用。1822年法国数学家在研究热传导理论时提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅立叶变换的理论基础。1946年在傅立叶变换的基础上提出了一种加窗傅立叶变换也称为短时傅立叶变换，通过特定的平移窗函数来分解信号的频谱，提取出它的局部信息，提高时间分辨能力。这种思想为后来的小波多尺度分析信号思想的引入起到了启发作用。1986年著名数学家Mayer和Mallet合作建立了构造小波函数的统一方法——多尺度分析，从此小波分析开始广泛地应用于信号分析领域并得到了蓬勃发展。近年来，小波分析已经深入到了非线性逼近、统计信号处理、图像去噪等领域，其特殊的时频分辨能力已经使它基本取代了昔日传统频域分析方法。

多维空间主成分分析法基于多维空间主成分分析的图像降噪方法是近年来出现的一种基于机器学习的降噪技术。由于图像的主成分在原空间中往往是分散的，因而通过使用非线性变换将图像映射到高维的特征空间中，在特征空间中提取线性主成分的效果明显优于主成分分析提取图像的线性主成分。而通过使用多维空间算法，在高维空间中主成分提取的计算只需要通过在图像的原空间中进行点积运算来实现，却不需要知道非线性映射的具体形式。但是，由于非线性的映射的具体形式一般不知道，而且从高维特征空间到原空间的逆映射也是不可能存在的，所以，利用在特征空间提取的非线性主成分去在原空间中重构降噪图像的问题的精确解是不存在的，因而使用多维空间主成分分析对图像进行降噪处理的问题的关键就在这里，即在原空间中寻找在特征空间中的降噪模型的原像。

多维空间主成分分析在图像去噪中的应用当前，己经出现了几种在原空间中寻找原像或近似原像的方法。1999年Mika等人采用梯度下降法来寻找原像，但由于所面临的往往是复杂的非线性优化问题，该方法容易陷入局部最优解。2004年Bakir等人提出利用多维空间岭回归来寻找近似原像，该方法把寻找原像的过程看作是从特征空间向原空间的一个映射，但该方法要求训练样本有一个很好的分别。与此同时，Kwok等提出基于多尺度分析的距离约束算法寻找原像，该方法首先在特征空间汇总选取去噪后模式的若干最近邻训练样本点，并假设在特征空间和原空间中去噪后模式与近邻点之间有相同的距离保持关系，然后在原空间中确定近似原像。2005年，Kim等人提出利用算法去改进基本的算法，从而使得改进后的模型能够应用于大规模复杂的图像去噪问题中。2006年，Zheng等人提出结合弱监督先验信息寻找原像的方法，该方法寻找原像的若干最近邻正类和负类样本，在原来优化目标的基础上，增加了尽量接近正类介而远离负类这样两个约束，从而改善了梯度下降法寻找原像的效果。2007年，Pablo等人提出结合外样本问题利用延拓方法来求解在原像，该方法更好的考虑了在特征空间中样本的正则化问题，因而在一定程度上提高了求解原像的准确度。2008年，Nicolas等人提出了一种基于几何解释的对求解原像的正则化方法，在此正则化方法基础上，算法的结果都得到了一定的改善。此外，2009年Richard等提出了直接法求解在原空间的寻找原像的问题，该方法在利用了在原空间与特征空间的内积相等的基础上，并增加了正则化的惩罚约束，直接求解非线性映射的形式，该方法具有相对的数值稳定性，并且由于利用内积关系，因而相对于距离约束降低了计算复杂度2。