[科普中国]-严格凹函数

定义

严格凹函数是定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数 (x) ，而且对于凸子集C中任意两个向量p,q， 满足1

则称 是定义在凸子集C中的严格凹函数。容易证明，其定义等价于若 满足

对任意两个向量p,q成立。特别地，若这里凸集C即某个区间 I ，那么就是：设 为定义在区间 I 上的函数，若对 I 上的任意两点 和 ，有1

成立，则称 是定义在区间I 中的严格凹函数。

在上面的定义中，若将小于号改变小于等于，则上面的函数称之为凹函数。

判别方法引理 为 I上的凹函数的充要条件是：对于I的任意三点 ，总有

证明：

必要性：

设 ，则有 ，由凸性的定义代入，从而有

整理后即可得到。

充分性：

在I上任取两点 ，在 上任取一点 ，由必要性的推导逆过程，可证得

故为I上的凹函数。证毕。

推论1 为 I上的函数，下列条件等价：

1） 为 I上的凹函数的。

2）为I上的减函数。

3） 对I上的任意两点 ，有

推论2对于实数集上的函数，如果其二阶导数在区间上非正，就为凹函数。如果其二阶导数在区间上恒小于0，就为严格凹函数1。

严格凹函数的性质1）一元可微函数在某个区间上是严格凹的，当且仅当它的导数在该区间上严格单调减的。

2）一元连续可微函数在区间上是严格凹的，当且仅当函数位于所有它的切线的下方：对于区间内的所有和，都有 。特别地，如果 ，那么c是 的最大值。

3）一元二阶可微的函数在区间上是严格凹的，当且仅当它的二阶导数是负的；这可以用来判断某个函数是不是严格凹函数，但反过来不成立。更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是严格凹的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是严格负定的。

4）严格凹函数的任何极大值也是最大值。严格凹函数最多有一个最大值。

5）对于严格凹函数 ，水平子集 和 是严格凸集。

6）反向延森不等式2对严格凹函数 都成立。

7）如果和是严格凹函数，那么和也是严格凹函数。

8）如果和是严格凹函数，且g递减，那么是严格凹函数。

9） 凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果是凹函数，那么也是凹函数。

等等性质。

注某些教材的凹函数定义与此定义相反，即凸函数与凹函数相反。如北京大学版本和中山大学的数学教材。