[科普中国]-滞变曲线

滞变体系的随机反应分析方法

在地震荷载的往复作用下，构件的恢复力与变形的关系曲线在加载和卸载过程中不沿着同一个路径变化，表现出显著的滞变特性。常用的结构恢复力的滞变模型有双线性模型、Clough三线性模型和能量模型，但由于上述模型是不光滑的，给求解随机偏微分振动方程带来了非常大的困难，因此，在结构的随机地震反应分析中经常采用光滑的滞变恢复力模型，其中最常用的是Bouc-Wen模型。

目前的滞变结构随机地震反应分析方法主要有扩散理论方法、随机平均法、摄动法、矩截断法、虚拟激励法、数字模拟和等价线性化法等。

扩散理论方法是在相应的边界条件与初始条件下求解福克-普朗克-科尔莫哥洛夫方程（FPK方程）。对极少数问题，如白噪声激励下的Duffing振子，可以得到解析解。但对一般的滞变结构，尤其是常用随机地震模型作用下的复杂滞变结构，目前没有解析解，只能通过近似方法（如随机平均法）和数值方法进行近似计算，而且计算量颇大且精度也很难保证。因此，扩散理论方法目前还未在工程中广泛使用1。

随机摄动法是非线性确定性振动的摄动方法对随机问题的直接推广。它可以用来确定弱非线性体系受随机干扰的近似反应的统计矩，但不适用于强非线性的滞变结构。

矩函数截断法是一类求解非线性系统反应矩的方法。较常用的是高斯截断法和累积量截断法，适用于单个或多个自由度非线性系统受平稳或非平稳随机激励的情况。矩函数截断法已被用于滞变结构随机地震反应统计矩的初步估计之中，但该方法的精度尚有待进一步提高。

滞变曲线数字模拟技术（主要是MonteCarlo模拟方法和重要抽样方法）与等价线性化法是目前应用最为广泛的滞变结构随机地震反应分析方法，可经过分析得到滞变曲线。

数字模拟技术数字模拟技术是利用随机地震动的样本和确定性滞变结构的振动分析技术，获得结构反应的样本，然后统计样本得到结构反应的统计参数、概率分布或其它概率特征。只要计算量允许，数字模拟技术适用于任何可以进行确定性分析的结构振动问题。然而，MonteCarlo模拟方法的确定性有限元分析数量往往数以十万计，对大型结构问题难以在可容忍的时间内完成模拟过程，而重要抽样方法的稳定性问题也一直没有得到很好地解决，因此，目前数字模拟技术更多地用于检验其他方法的适用性与精度的工具，而在工程中较少直接使用。

等价线性化法随机等价线性化方法是利用某个等价原则将所研究非线性系统等价变换为一个线性系统，通过分析等价线性系统的随机反应来预测原系统的随机反应。随机等价线性化的分析方法恰恰可以克服已有分析方法的不足，以其简便可行、求解范围广并且容易推广应用于有多个自由度的工程系统的优势，可运用在滞变结构地震反应分析中。因此，等价线性化方法是被认为是目前最有效的滞变结构随机地震反应分析方法。

上世纪50年代，从事控制论和自动化理论研究的Kazakov和Booton最早提出了随机等价线性化方法，Caughey则将其推广到非线性随机振动系统。非线性随机振动系统等价线性化的中心思想是将原来的非线性系统用一个等价的线性系统来代替，线性系统的参数则通过利用原系统与线性系统之间的某个等价准则来获得，因此非线性随机振动系统的等价线性化方法可按等价线性化准则来进行分类2。

最早提出并且应用最广泛的线性化准则是原系统响应与等价系统响应的均方差最小准则。采用该准则后，等价系统的参数可以通过计算原系统中非线性函数梯度的期望来确定。这种随机等价线性化方法主要是确定等价系统的刚度和阻尼参数，尤其是可以给出Bouc-Wen模型的等价参数，使等价线性方程“最优”的逼近原来的非线性方程的解。这种等价线性化方法可以称为全局等价线性化方法。

局部等价线性化准则的一种典型方法是Casciati和Faravelli提出的原系统响应与等价系统响应的平均穿越率相等准则方法。对滞变结构研究时虽然无法明确得到原系统位移和速度的概率密度分布，但在能量损耗很小的情况下，可以运用随机平均方法得到能量包线的福克-普朗克方程，运用标准参数获得位移和速度反应的联合概率分布近似值，从而可以得到滞变结构的穿越概率。利用等价线性化方法，将原来的滞变结构用等价的线性结构来替代，可以得到等价的线性结构的穿越概率，这个穿越概率是有关等价线性参数的函数关系式。