[科普中国]-方向导数与梯度

方向导数导数

定义 设函数 在点 的某领域内有定义，若极限

存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，记作 。

定义设三元函数 在点 的某领域 在 中有定义， 为从点 出发的射线， 为 上且含于 内的任一点，以ρ表示 与 两点间的距离。若极限

存在，则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向导数1，记作

或

方向导数与偏导数、全微分的关系定理1 多元函数 在点 的某个领域 在 中有定义，且在点 处可微，则在该点处 任意方向上的方向导数都存在，但反之不成立2。

证：设向量 为从 出发的射线，为 上且含于 内的任一点，并以ρ表示 与 两点间的距离，由假设知多元函数 点 处可微，从而有：

也即有存在，按照定义即证明了方向导数存在，且

梯度定义若多元函数在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量为函数在点的梯度3，记作

向量的长度（或模）为

梯度与方向导数的关系
定理2 设多元函数在点的某个领域属于内有定义，且在点处可微。其中是轴对应的单位向量。向量为向量的方向余弦。则有

注：若多元函数在点点可微，当与方向相同时，方向导数取得最大值，也即在得梯度方向是其增长最快方向；当与方向相反时，方向导数取得最小值，也即在的梯度反方向是的值减少最快方向。

应用(1)设，求在点沿方向的方向导数。

解：易见在点可微。所以

以及方向的方向余弦

故

(2)设质量为m的质点位于原点，质量为1的质点位于，记，求的梯度。1

解：

若以表示上的单位向量，则有