[科普中国]-电象法

电象法实质是用“ 镜象电荷” 来“ 替换” 导体表面的感应电荷, 并仍能保证导体表面以及导体以外空间的边界条件不变, 从而可用较简的电荷分布求得场的分布。对于只有一个边界面的情况, 电动力学中作出了详细介绍, 当具有两个或两个以上边界面时, 则产生无限多个象电荷, 用这些系列象电荷代替导体表面的感应电荷的方法, 称为系列电象法。

电象法解题思路电象法的理论依据是唯一性定理, 解题的思想是“等效代替”, 即将所研究的区域实际边界上复杂的未知分布的电荷用区域外假想的较简单的电荷分布代替, 使象电荷与原电荷在求解区域内满足泊松方程, 在边界上满足边值关系及边界条件。因此如何确定象电荷的具体位置及大小就成为焦点。

1.正确写出偿试解确定象电荷的位置和大小其关键是要给出正确地的偿试解, 要求(1) 物理意义清晰;(2) 把实际上不均匀的介质看成均匀介质去处理; (3) 注意各项量纲统一。在图一所示的情形里求空间电势时, 正确的试探解的形式应为:

而不是

2.注意求解区边界, 正确运用边界条件边界的形状及边界面上的势(或电量) 决定了象电荷的大小、位置及个数, 所以确定边界及边界条件尤为重要。如图二所示, 内外半径分别为R 1和R 2的接地导体球壳, 壳外距球心a 处有一点电荷q, 求壳外空间电势, 此题中壳内象电荷是由确定的。若将点电荷置于壳内求解壳内电势时(如图3) , 注意到求解区边界为R = R 1 的球面就不难得出壳外象电荷。若导体界面不是球形, 是平面或有其它形状, 则会得到截然不同的结果。由此可见不同的边界条件、不同的界面直接影响象电荷的多少、大小和位置。2

3.深刻领会唯一性定理, 灵活运用电象法唯一性定理是电象法的理论依据, 它告诉我们已知求解区V 内自由电荷分布,给定V 的边界上的势或则V 内势唯一确定, 对于有导体存在时情形还须在上述条件基础上再补充一条即已知每个导体体壳带电量、电势相等, 因此图三、四、五 中壳外空间的场分布完全相同, 与壳内电荷q1的位置及壳内表面的形状无关, 这是唯一性定理的必然结果。

总结：对于导体壳只要壳的外部形状、尺寸完全一样, 壳的外表面带电量相同, 壳外空间电荷分布相同, 那么即使内部形状大小、电荷位置不同, 壳外空间的电场是唯一的, 亦即壳外空间的电场完全由壳的外表面(形状与大小)、外表面电荷以及壳外空间电荷分布决定。同理壳内空间的电场完全由壳的内表面、内表面电荷及壳内电荷分布决定。此外, 运用电象法还应注意象电荷必须是在求解区域之外, 以及能够求解问题的局限性, 对于边界形状简单(平面、球面等) 且电荷为点电荷或者2较简单连续分布(如直线分布等) 问题较为适合, 对于更复杂的情况往往很难确定象电荷, 就必须采用其它方法。

应用电象法的注意事项电像法求解向题的实质, 是在求解区域之外寻找一个虚电荷, 来等效地代替实际导体面或介质分界面上的感应电荷。值得注意的是： ( 1) 必须在求解区域以外找。( 2) 这个象电荷是个虚假的电荷, 不是一个与原电荷无关的独立真实电荷. ( 3) 真实电荷是导体面或介质分界面上的感应电荷, 感应电荷的总量并不一定总是等于象电荷. 但是在实际应用中, 往往忽视后二点, 把象电荷视作为与原电荷无关的独立的真实电荷, 而把等效替代视作为完全代替, 这是不妥当的.（4）电象与原电荷之间的互作用能仅仅是把电象换成与它相同的真实电荷的互作用能之半。

易错点：如一个电偶极子P , 位于无限大导体平面附近, 若要计算它所受到的作用力, 通常是先求出电偶极子P与它的电象P’ 的相互作用能。然后根据, 求出作用力, 这里的是电象P产生的场强.但是, 这里把电偶极子与电象的互作用能, 同把电象换成与象完全相同的真实电偶极子时的互作用能, 等同起来了。这是不对的。事实上前者只是后者的一半。有趣的是, 从这二个互作用能, 计算作用力, 所得结果相同。原因在于, 偶极子与导体面的距离正好是两个真实偶极子之间距离的一半, 因而虚位移也相差一半。互作用能是一半, 正好相互抵消。故更易引起误解。根据同样的理由, 对于接地的或中性导体球附近的电荷，以及稳定磁场中, 用镜象法求解时, 互作用能也均应有因子。仅仅是之差, 就把电象和把电象换成与之相同的真实电荷时的差别, 完全区分开了. 二者是不同的物理图象和概念, 决不能混为一谈. 因此正确的掌握和运用电象法, 必须清晰的了解电像法求解的这类间题的物理图象和电象法的实质。盲目地代用公式, 碰巧又凑对了答案, 往往把问题的本质掩盖了。3