[科普中国]-非自反关系

背景

集合A中的一个等价关系～决定集合A的一个划分，反之，给了集合A的一个划分，便确定了集合A中的一个等价关系～。换言之，集合A的一个等价关系是A的任何划分方式的基础。1

给了集合A的一个划分后，便使每一元素a属于A当且仅当属于一个等价类[a]。也就是说，由等价关系给集合的分类是完备的。

事实上，对集合A的分类还有其他情形。

定义定义 集合A的一个关系R叫做一个非自反关系，假如R满足：

(1)非自反性： a∈A=>aRa；

(2)对称性： a，b∈A，aRb=>bRa；

(3)传递性： a，b，c∈A，aRb，bRc=>aRc。

设R是A上的关系。若对所有a∈A，均有(a，a)∈ R，则称R是A上的一个自反关系，也称R是自反的或R具有自反性。如果R不是一个A上的自反关系，则我们称R为A上的一个非自反关系，也称R是非自反的。2

相关定理定理集合A的一个不完全分类确定A的一个非自反关系R。反之亦然。

不完全分类定义：设A为一个非空集合，如果A的一个子集族：{Ahl h∈N}满足：

(1)

(2)=>

(3)

则称集合集{Ahl h∈N}为A的一个不完全分类。

证明设{Ahl h∈N}是A的某些非空子集的一个集合。定义关系R：aRb存在惟一的h ∈N，使n ∈A。且b∈ Ah。

自反关系在逻辑学和数学（离散数学）中，集合 X 上的二元关系 R 是自反的，若所有 a 属于 X，a 关系到其自身。

表示数学上表示为：对于任何a∈A，总有aRa，即任何 a∈A，使得（a,a）∈R，则称集合A上的关系R是自反的。

例如："大于等于"是种自反关系，但"大于"不是自反关系。

举例自反关系举例：

"等于"（等于）

"是……的子集"（集合的包含）

"小于等于"和"大于等于"（不等）

"除"（整除）

非对称关系.非对称关系即反对称的非自反关系。

满足传递性的自反关系称为预序关系。满足反对称性的预序关系称为偏序关系。满足对称性的预序关系称为等价关系。

X上的关系R是非对称的，若对所有的a和b属于X，若a关系到b，则b不关系到a。

数学上表示任意 a,b 属于 X，aRb -> 非（bRa）

定理若一个关系是非自反的和传递的，那么它是非对称的。

证明设关系R满足题目条件，所以,∈R那么∈R。若他不是非对称的，那么,∈R,由以上条件知，∈R，所以与非自反矛盾，所以关系R是非对称关系。

其他类似关系举例设关系为F(a,b)
自反性 = 对任意元素a证F(a,a)成立
反自反性 = 对任意元素a证F(a,a)不成立
对称性 = 对任意两个元素，若F(a,b)证F(b,a)成立
反对称性 = 对任意两个元素，若F(a,b)证F(b,a)必不成立
传递性 = 对任意三个元素，若F(a,b)且F(b,c)证F(a,c)成立