[科普中国]-K类函数

在控制理论中，通常需要判断自治系统的稳定性。为了解决这一问题，我们有必要使用某些特殊的比较函数。K类函数如之的如下一类函数。

定义K类函数定义（K类函数）：一个连续函数 称之为K类函数，如果

该函数是严格递增函数；

该函数满足2

K无穷类函数定义（ 类函数）：一个连续函数 被称为 属于 类函数，如果

该函数属于K类函数；

该函数满足

该函数满足

应用一个非递减正定函数 除了严格递增外还满足K类函数（或 类函数）的所有条件，那么该函数可以通过一下方式被K类函数（或 类函数）限制住上下界：

因此，为了继续相应的分析，这可以用连续不增正定函数，来限制我们感兴趣函数的边界。

例子α(r) = tan^−1(r)是严格单调递增的，因为α′(r) = 1/(1 + r2) > 0。所以该函数属于K类函数，但该函数不是K∞类函数，因为limr→∞ α(r) = π/2

α(r) = r^c, 对于任意正实数c，2该函数是严格单调递增的，因为α′(r) = cr^(c−1)> 0。此外，limr→∞ α(r) = ∞；因此，该函数属于K∞类。

α(r) = min{r, r^2}是连续的严格增函数，且limr→∞ α(r) = ∞。因此，该函数属于K∞类。3