[科普中国]-非线性微分代数系统

昨线性微分代数系统的研究背景

随着工业系统规模的扩大以及科学研究的深入，非线性复杂系统受到越来越多的关注.，并逐渐成为国际控制界的一个热点研究方向甲很多非线性复杂系统，包括电力系统和复杂的电网络、受限机械系统与机器人系统、化工过程、人口模型以及社会经济系统等，都是由若千动态子系统和静态子系统通过强烈祸合构成的，各动态子系统除了分别具有各自的动态特性外，还与其他子系统存在复杂的联系和制约。由子动态子系统的特性一般用微分方程来描述，而静态子系统的特性以及各子系统之间的联系和制约用代数方程来描述，这些系统的数学模型需要表示为由微分方程和代数方程共同组成的混合模型

在相关文献中，微分代数系统还被称为受限系统、奇异系统、广义系统、描述变量系统或半状态系统等。这些称谓从不同侧面反映了微分代数系统模型的特点，表达了系统的复杂性。1

微分代数系统是一种更具一般性的系统模型，它是在系统建模过程直接得到的，其中的变量往往具有明确的物理意义。在对微分代数系统进行研究时，最直接的想法是通过模型化简将其转化为微分方程系统，遗憾的是，对非线性微分代数系统，模型化简并不总能实现即使在特定条件下能够把微分代数系统化为微分方程系统，也会造成具有实际意义的变量的缺失，不利于对系统进行全面的分析和有效的控制。

例如，在对电力系统稳定性分析和控制的研究中发现，虽然可以在恒阻杭负荷等假设下，通过消去母线电压变量而将电力系统模型化为微分方程系统，但是由于母线电压变量是衡量系统电压稳定性的主要变量，基于化简模型将无法有效分析系统电压稳定性.随着对电力系统稳定性问题认识的深人，人们发现电压稳定对电力系统的安全稳定运行起着关键作用，基于微分代数模型的电力系统研究日益受到重视。

大量研究结果表明，由于代数约束方程的存在，微分代数系统会呈现出很多微分方程系统所不具有的现象和特点，例如在电路网络中观察到的脉冲和跳变现象，微分代数系统从低指数向高指数演变而产生的奇异诱导分岔现象等。基于微分代数系统模型进行分析与控制研究可以更加深刻地揭示这些现象的本质。

从系统模型结构特点来看，微分代数系统能够反映实际系统中大量存在的分层现象：底层是系统的动态特性，上层是系统的静态特性和管理特性，所以微分代数系统理论也许是处理具有多级、多目标、多维数和多层次的大规模复杂系统的一个有力工具。

综上所述，现实世界已为微分代数系统的研究提供了深刻的物理背景和广泛的应用前景。目前，虽然线性微分代数系统的研究已经较为系统，但非线性微分代数系统的研究却尚末充分展开，特别是在系统分析和控制中未能充分利用系统内在的结构特点。

非线性微分代数系统的特点由于代数约束方程以及隐动态代数变量的存在，非线性微分代数系统具有许多不同于微分方程系统的特征，主要包括:

奇异性奇异性是微分代数系统最重要的特性，可以用微分指数来表征所谓微分指数就是通过系统扩张把微分代数系统化为等价的微分方程系统所需要的最少求导次数。微分方程系统是指数为零的微分代数系统。目前的研究结果表明指数1微分代数系统具有和微分方程系统类似的性质，而指数大于1的微分代数系统(高指数系统)和微分方程系统有明显差别，其动态行为也更加复杂。

行为高度复杂性非线性微分代数系统解的情况非常复杂，具有无解、多解、唯一解等多种情况。首先，在求解过程中，系统初始条件的确定不再是一个平凡间题，必须满足所谓的一致初始条件，该条件是根据约束方程或对其多次求导并经过复杂计算得到的，求导次数的多少与微分代数系统的奇异性直接相关，如果一致初始条件不能得到满足，可能会导致系统无解，或者迫使系统中部分状态发生跳变。另外，如果参数变化导致微分代数系统在运行过程由低指数向高指数转化，会发生由于奇异性造成的分岔现象，出现更为复杂的动态行为。

非因果性通俗地讲，因果性是系统状态变量和输出变量依赖于当前和以前时刻的输入量值，而非因果性是指系统中各变量不仅依赖于当前和以前时刻的输人变量，还依赖以后时刻的输入量值.对高指数微分代数系统，如果代数约束方程依赖于输人量，则系统某些状态变量响应中会出现输入量的微分，导致非因果关系的产生。

不具有全局稳定性微分代数系统在状态空间中通过奇异面分割成多个连通的分支，各连通的分支在交接的地方是奇异的，而在每个连通分支内部则是非奇异的，有各自的吸引域、稳定域、不稳定域以及稳定极限集等，所以非线性微分代数系统不具备全局稳定性。

和其他系统的区别为了进一步说明非线性微分代数系统的特点，下面将其与其他几种重要的系统模型进行比较。

微分代数系统与微分方程系统从模型特征上看，隐式形式的非线性微分代数系统是微分方程系统和微分代数系统的通用表达形式。

微分代数系统又裤称为流形上的微分方程系统，两者之间的关系是显然的.但是，微分代数系统无论在定性特性还是在结构上与微分方程系统都有本质的区别，不能简单地将微分代数系统看成是微分方程系统的隐描述在对微分代数系统进行研究时，不仅要考虑其动态特性，还要考虑由于代数方程所确定的系统的静态特性。

微分代数系统与非完整系统微分代数系统和非完整系统都是受到约束作用的微分方程系统，微分代数系统是受到代数方程约束的系统，这类约束可以看作几何约束，理论上能够通过消去冗余坐标将系统化为不受约束的系统。非完整系统是系统中某些变量及其导数受到代数约束的一类微分方程系统，这种约束是速度约束，不能通过积分化为几何约束。

微分代数系统与奇异摄动系统奇异摄动系统模型为

其中ε为奇异摄动量，当ε=O时，奇异摄动系统就是微分代数系统，所以微分代数系统可以用来表示奇异摄动系统慢动态的特性。反过来，在微分代数系统的分析中，也可以以充分小的奇异摄动量二下的奇异摄动系统近似代替微分方程系统。但是，奇异摄动系统和微分方程系统之间也存在本质上的区别：对奇异摄动系统，ε符号的不同将直接影响系统的动态行为，而无论g( x，y，u)的符号如何，微分代数系统中代数约束流形可以保持不变；另外，奇异摄动系统可以具有全局稳定性和全局动态，而微分代数系统仅具有局部稳定性和局部动态。

非线性微分代数系统的稳定性分析微分代数系统中代数变量动态是由状态变鼻和代数方程(对高指数非线性微分代数系统，还包括代数方程的导数)隐式决定的.，所以无法直接得到Lyapunov函数的导数，为系统稳定性分析带来了困难.综观目前的研究结果，非线性微分代数系统的主要稳定性分析方法可以归为以下几种：

(1)把微分代数系统局部归结为流形上的微分方程，即受限微分方程，发展出平行于常微分方程的理论.

具体地，对指数1自治非线性微分代数系统

基于上述变换，陈伯山等给出了非线性微分代数系统的一般形式的LyaPunov函数，讨论了系统平凡解的稳定性判据和吸引域。基于非线性系统的稳定性分析结果分别研究了系统镇定和观测器设计问题，刘永清等则给出了非线性微分代数系统稳定以及渐近稳定的条件。

(2)针对微分代数系统的特定形式，推广稳定性的概念，构造特殊的函数，研究各种特殊的稳定性问题，提出了一些适用于隐式非线性微分代数系统的Lyapunov稳定性概念。利用这些概念，证明了指数1非线性微分代数系统零解的稳定性和渐近稳定，得出了指数1微分代数系统零解稳定性的一些判据，并利用这些结果解决了电力系统的一些稳定性问题等。在假设系统存在唯一无脉冲解的条件下，研究了非线性微分代数系统的稳定性分析问题，给出了微分代数系统稳定性及渐近稳定性的定义。由于公代表系统中慢动态量，这种分析方法可称为慢子系统分析方法。

(3)用奇异摄动系统近似代替微分代数系统，

这种近似方法在电力系统稳定性分析中得到了大量应用，但是微分代数系统和奇异摄动系统模型存在较大区别，而且奇异摄动的方式和奇异摄动的大小对系统暂态过程都有较大影响。

优点在电力系统分析中采用微分代数模型具有以下优点:

(1)微分代数模型能够更加准确地表示电力系统中元件的特性，包括发电机动态特性、负荷特睦等;

(2)在系统数值仿真中可以采用疏松矩阵技术，便于提高系统在线分析的快速性;

(3)能够更精确地构造系统的能量函数，从而更准确地分析系统的稳定性，

估计系统的稳定域;

(4)能够对负荷母线电压变量进行分析，从而对目前受到越来越多关注的电压稳定问题以及电能质量问题给予更加精确和直观的描述和分析.

在基于微分代数模型的电力系统分析研究中，稳定性分析是人们长期关注的研究课题，在电力系统稳定性问题研究的早期，人们认为大扰动下系统的暂态稳定性问题主要是暂态功角稳定性问题，并主要基于经典模型通过摇摆曲线来判断系统稳定性(经典模型是电力系统非线性微分代数系统模型在恒阻抗负荷假设下，通过消去负荷母线电压变量而得到的)，七十年代后期以来，国际上多次发生的由于电压崩溃引起的大面积停电事故迫使人们开始关注电压稳定问题，即负荷母线电压的稳定性问题，并使得稳定性研究从单纯的功角稳定性发展到综合考虑功角和电压稳定性。具体地，在系统功角稳定的条件下，如果在摇摆过程中若系统节点电压接近极限或者过负荷，或者节点电压低于某一极限值，那么即使从发电机摇摆曲线上看系统是稳定的，整个系统也暂态不稳定.

电力系统电压稳定性分析主要包括静态分析和动态分析。在电压稳定性研究的初期人们关注的是静态电压稳定性问题甲基于潮流方程或者假设发电机后电势恒定的扩展潮流方程的分析方法是静态电压稳定性分析的主要研究方法，并将网络传输极限功率时系统的运行状态作为静态电压稳定极限，静态分析仍是目前电压稳定研究工作中最富成果的方向之一。

随着电压研究的深人，人们逐渐认识到电压稳定本质上是一个动态问题，系统中诸多动态因素，如OLTC动态、发电机及其励磁控制系统、负荷动态特性、无功补偿设备等均对电压稳定起着重要作用，从而开始用动态观点探讨电压稳定的机理，提出了基于微分代数方程的研究方法，包括小扰动分析方法以及暂态分析方法。小扰动分析方法是将描述电力系统的微分代数系统在运行点附近线性化，消去代数约束后形成系统矩阵，然后通过该矩阵的特征值和特征向量来分析系统的稳定性。由于动态负荷、发电机及励磁控制系统、FACTS装置等均是动态元件，其暂态行为也可能导致电压不稳，同时大扰动情况会导致电力系统运行状态较大地偏离正常运行点，故暂态稳定分析也引起了人们的关注，由于暂态稳定分析的复杂性，目前的研究集中于动态负荷，特别是电动机负荷特性对电压稳定的影响。

非线性微分代数系统控制目前文献中涉及的非线性微分代数系统控制问题很多，包括镇定、跟踪、解藕、观测器设计以及鲁棒、优化和自适应控制等，所采用的方法主要有反馈线性化方法、LyaPunov方法以及变结构方法等，这些方法都是非线性系统控制方法在微分代数系统中的推广。

基于反馈线性化的非线性微分代数系统控制研究

反馈线性化是非线性系统中一种重要的综合方法，包括精确反馈线性化方法，即微分几何方法直接反馈线性化以及逆系统方法等以及多种近似反馈线性化方法。对完成线性化后的系统，除了可以完成系统镇定之外，还可以通过分层控制策略或者分步设计方法完成鲁棒、优化以及自适应控制器的设计，很多学者将反馈线性化方法推广到非线性微分代数系统，并在反馈线性化的基础上完成了镇定、解藕、鲁棒以及自适应控制等。

从目前非线性微分代数系统控制问题的研究结果来看，基于反馈线性化方法的研究占据着主导位置.通过将非线性微分代数系统化为等价的微分方程系统，将微分几何方法直接应用于系统的反馈线性化，完成了系统镇定，将受限动态算法和零动态算法推广到仿射非线性系统，通过坐标变换完成了系统的输人输出线性化，并基于线性化系统设计了镇定控制器；同时，反馈线性化方法应用于微分代数系统的解祸控制和跟踪控制。wang等则推广了微分几何方法中李导数和李括号的概念，提出了M导数和M括号的概念，完成了非线性微分代数系统的反馈线性化，通过将代数约束表示为线性约束，实现微分几何方法在非线性微分代数系统反馈线性化研究中的推广。对多输人多输出系统，反馈线性化后的系统往往包含有零动态，而且零动态系统的稳定性决定系统的内部稳定性，研究非线性微分代数系统的零动态问题对考虑外部扰动和参数不确定性的非线性微分代数系统，采用反馈线性化和自适应控制方法给出了自适应控制器的设计方法，为了解决状态变量不能直接测量问题，研究基于观测器的反馈线性化问题，作为反馈线性化方法的应用，受限机械系统、机器人系统以及电力系统中若干控制问题得到了研究。

反馈线性化方法首先通过坐标变换和状态反馈消去系统中非线性项，从而将系统转换为线性系统，然后采用成熟的线性系统理论设计控制器使闭环系统具有期望的性能。但是，反馈线性化方法也有其内在缺陷:采用这种控制方法可能会消去系统中原有的对稳定性和动态性能具有良好作用的非线性环节，增加反馈控制的力度，带来噪声放大等负面影响。

基于LyaPunov方法的非线性微分代数系统控制研究

LyaPunov方法是适于任何系统类型的基本的分析和综合方法，但由于微分代数系统中代数变量是隐式决定的，同系统稳定性分析一样，必须借助适当的手段才能完成系统综合。

通过将非线性微分代数系统化为流形上的微分方程系统，基于LyaPunov方法设计系统的反馈镇定器，给出一种镇定控制器存在的条件，但没有给出控制器的具体构造方法。Lyapunov函数满足对合条件时，wang Hesheng等采用LyaPunov方法研究了非线性微分代数系统凡控制问题，分别给出了状态反馈和输出反馈时坑问题可解的条件，并基于微分对策和耗散不等式，构造了一族输出反馈凡控制器，该结论是LyaPunov和KangI以及非线性系统的相关结果在微分代数系统中的推广，特别需要指出的是，Wang等将微分代数的几干扰抑制问题归结为两个不等式的非负定解的存在性问题，该结论是仿射非线性系统有关结果在微分代数系统中的推广。

其他控制方法及控制问题

由于变结构方法的强鲁棒性在很多领域得到了应用，温香彩、刘永清等将变结构方法应用于微分代数系统的控制，取得了良好的控制效果。等对一类非线性微分代数系统提出一种二次型LyaPunov函数，并采用凸优化方法将一类非线性微分代数系统的镇定问题转化为不等式的求解问题。将增益调节控制方法应用于非线性微分代数系统的鲁棒控制，他对一类特殊的非线性微分代数系统设计了控制器，这类系统的系统矩阵仿射依赖于一些有界的非线性变量，通过将扩展的有界实理推广到微分代数系统，并最终将系统的戈控制器设计问题归结求解问题。

此外，作为非线性微分代数系统中特有的控制间题，反馈正则化问题也得到了研究。所谓反馈正则化就是通过反馈控制将高指数微分代数系统化为指数1微分代数系统，同时达到消去系统中脉冲行为的目的。将零动态方法应用于非线性微分代数系统，给出了系统实现正则化的算法运用一般意义上的中心流形定理讨论了一类非线性微分代数系统的输出正则化问题，并通过设计控制律使得闭环系统能够渐近跟踪一类参考输入。