[科普中国]-时变参数

结构参数(刚度、阻尼和质量等)不随时间变化的结构称为时不变结构，反之称为时变结构。对于线性时不变结构动力学的正问题和反问题的研究目前己趋于成熟，但时变结构的研究，因为其难度较大，还是结构动力学学科的前沿问题，特别是反问题(时变参数识别问题)的研究，目前还很不成熟.但工程科学的发展，又给我们提出了许多急待解决的时变结构的动力学问题，

例如:

(1)导弹、飞机机翼的颤振问题，其气动刚度是随时间变化的。当速度急剧变化时，气动加热也会引起材料的刚度和阻尼随时间变化。

(2)结构的动力屈曲问题就是普遍存在的时变参数问题。

(3)航天器中的太阳电池帆板和机械臂的展开为多体动力学问题，多体系统的动力学方程一般均表现为时变参数的方程。

(4)火箭发射时，燃料快速消耗，火箭系统的质量特性是时变的。

(5)高速列车会引起桥梁激烈的振动，因为火车、桥梁的结构系统是时变系统。

类似的时变结构问题还很多，而且会越来越多，而时变结构的建模就涉及时变参数的识别问题。该问题的研究目前国内正处于起步阶段，国外虽有一些研究成果，但还不很成熟。

对于线性时变结构，通常用如下N阶线性时变的半离散化的结构动力方程来描述：

其中M(t), C(t)和K(t)分别为系统时变的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，q(t), F(t)分别为系统广义坐标和激励力向量，d0，v0分别为初始位移和速度列向量.从纯数学角度来看，这是一个变系数的祸合的二阶常微分方程组，这样的方程组的解的稳定性、收敛性和振荡性等的讨论是较为复杂的数学理论问题，对单变量系数周期性变化的简单问题，理论上已有了一些结论，但对系数任意变化的和多变量的问题理论上还有许多工作要做.对时变结构的参数识别在理论上还有可识别性、可观测性和可控性等问题，对线性时不变结构系统已有了理论结果，而对线性时变结构还有待于进一步研究.现有的时变结构系统参数识别方法都回避了这个问题，假定其参数是可识别的，即利用系统的输入输出数据可以识别出系统的随时间变化的参数。

现代控制理论中所研究的系统一般是更广泛意义上的系统，这里称之为广义动力学系统。针对广义系统建立和发展了很多的参数识别的理论和方法，这些理论对发展结构系统参数识别方法能提供有价值的参考.因此有必要首先看一看时变参数识别方法在这些领域的研究进展。

一般认为，单变量线性系统辨识的理论和方法，目前已较为成熟，而多变量系统虽然近十几年来开展了大量的研究工作，但由于在噪音背景下问题的高度复杂性，还远没有达到单变量线性系统辨识那样成熟的程度.因此更多的研究工作放在了探求各种在线辨识算法的自适应性质，递推算法的收敛性和一致性.提出的许炙用于时变参数的系统辨识算法，主要有最小二乘、卡尔曼滤波和最小均方方法递推算法及其改进算法，但其中大部分都只能用于随时间缓慢变化的参数辨识，对快时变系统参数辨识的研究进展较慢，相应的辨识算法研究也不多冈.递推最小二乘法可以跟踪时变参数，带常遗忘因子的一般只能用于估计慢时变参数，而带可变遗忘因子的最小二乘方法可以用于估计快时变参数，但在有噪音的情况下参数估计方差增大，参数估计适应越快它们跟踪噪音的趋势越大，从而造成辨识精度的损失.为改善辨识精度，对快时变参数都采用在每一个采样间隔内以折线段来逼近，一般表达式为

其中。α(Ti)在每一个折线段内是已知的，α1为折线段斜率，这样就把辨识时变参数问题转化为辨识常参数问题，只需估计α1。根据上述思想，对协方差矩阵采用协方差重置法由普通最小二乘递推公式得到了一种辨识算法，即令P(Ti)=K0， i = 0, 1, 2,..，式中K0为由设计者选择的参数，分段间隔大小的选择由参数变化的快慢而定，并要求若被估参数数目为2N则在每个分段内的采样点数应大于2N。对机组气温系统模型采用ARMAX模型描述并提出了线性加权辨识算法，其中t*为一有限值，Mo为加权系数，向量F是θˇ(t)的平均变化率，而对θˉ(t)的估计采用上述分段折线逼近的思想，该方法只要适当选择权系数，可获得较强的参数跟踪能力和较快的稳态收敛速度。利用普通最小二乘方法辨识方程的线性组合，即假设参数行为的某种平均

，

是差分矩阵算子，V为常向量，为前向时移算子。]在此基础上重构以待估参数为状态变量的状态方程和观测方程，然后利用卡尔曼滤波公式给出一个辨识算法，并指出当V=0时算法最优，所用计算时间少。针对含有方程噪音的时变模型，提出一种多项式扩展递推最小二乘法(PRLS)及其改进方法，基本思想是对待估参数以多项式逼近，在固定长度的时间区间上，问题就变成非时变参数的辨识问题。

以上所有这些改善辨识精度的方法，基本思想都是对待估的时变参数以多项式或傅立叶级数逼近，在固定长度的时间区间上，问题就变成非时变参数的辨识问题，然后再采用最小二乘法或卡尔曼滤波来解决。这些方法移植到工程结构系统的时变参数识别上还有许多理论问题需要解决，但其研究思想可以提供有益的参考。

总体来说，时变结构系统参数识别研究目前在国内外还都处于刚起步的阶段，已有的研究工作主要有两种:一种是将数据划分成一个个小的时间段，并在每一个时间段内把结构参数看成是时不变的，然后将每一个段内的识别值用曲线拟合以得到参数时变的规律。这种方法的特点是估计后一段的参数时没有用到前面各段的数据信息，对参数变化较快的系统，为使估计精度提高必须选取较小的段;另一种就是所谓的在线或递推技术，在每一个时刻数据是序贯地被考虑，老的数据逐渐被遗忘，新的数据不断地加进来，并且参数的估计值在每一个时刻是适时被修正的。这种方法存在着观测数据及遗忘因子的适当选取问题，需要在识别精度和跟踪能力这二者之间做折中考虑。

基于短时时不变假设给出了一种用于多自由度的时变结构系统参数辨识的算法，并给出输入数据和对应测量响应在没有噪声和带有高斯白噪声的辨识结果。该算法在状态空间中的表示是用Newmark积分方法得到的，而后再用最小二乘及其改进算法来辨识。一个刚度时变的三自由度的仿真例子，并指出算法存在着一个辨识区间长度的适当选取问题，为得到有用的估计结果要求其必须足够短，为减少计算量又要求它足够长，因此对N自由度系统，为得到好的辨识精度算法的计算量是很庞大的，在每一个时间步上需要60倍的NxN矩阵的乘法和加法。也是在短时时不变假设下，基于时不变结构系统的模态分析理论，利用线性加速度方法将运动方程离散成状态变量包含模态位移、速度、加速度以及模态参数的非线性状态方程，然后用扩展卡尔曼滤波公式来估计模态参数.在量测数据的起点和终点进行封闭循环滤波以克服短数据效应，而且各阶模态参数是逐阶进行的，将首先获得的第一阶模态参数作为下一步中将该系统视为两自由度时的第一阶模态参数的初值，重复滤波过程，如此下去直到满意为止。该算法较为复杂，计算量较大，而且随着模态阶数的增加，初始条件的影响越来越大，较高阶的模态参数估计精度越来越差。

在信号处理和现代控制理论中发展了许多这样的方法，但这些方法能应用到时变结构系统上的只有一小部分。以ARMA差分方程模型研究使用七种时域系统辨识算法跟踪时变模态参数的能力，其中包括LS(least squares), DLS (doubleleast squares), CF (correlation fit), IV (instrumental variables), IMDO (instrumental matrix withdelayed observations), ELS (extended least squares), ML (maximum likelihood)等，它们对单自由度系统都有效，其中只有ML和DLS方法对两自由度系统有效。将其中的LS, DLS,IV方法用于时变物理参数的识别。将此三种方法利用可变物理参数的微分方程模型讨论了刚度与阻尼随时间变化时物理参数与模态参数的识别问题，同时阐述在考虑了噪声的情况下上述三种算法的性能，指出最小二乘算法的改进型比常规最小二乘算法对噪声更敏感.在实际应用中，由于量测噪声的存在，LS , DLS , IV的识别精度依次下降，特别是噪声较大时IV算法失效.因此当估计到噪声量级较大并采用变物理参数微分方程模型时应选用最基本的行之有效的LS算法。讨论带遗忘因子的辨识算法问题，对带时变物理参数模型揭示了上述方法的统一性，并给出各种算法的统一的递推结构，数值仿真对系统参数的慢变、突变和快变三种情况都给出了结果，但未考虑噪声对识别结果的影响。

上述方法都是直接从结构系统量测的输入输出数据出发来分析的，这是较多数的方法，还有一类是从利用系统的脉冲响应函数发展的时域方法出发发展它们的递推或在线型方法。首先给出了将经典的递推最小二乘方法用于直接利用结构系统的脉冲响应函数的AR模型，根据这一思想原先的基于最小二乘方法的一些时域方法都可以生成相应的在线型算法，也就产生了在线型的最小二乘复指数法，由于这些方法都是把AR模型的差分方程的残差平方和的最小化做为基本思想。因此不得不采用较高的模型阶，也就是比实际大得多的模型阶以获得无偏的模态参数估计，这样的处理方法导致使用者必须能区分系统模态和虚假模态。另外AR模型最佳阶次的选取准则没有统一的准则，对此缺点可以改善的方法是特征系统实现算法(ERA)，它移植了控制理论的最小实现理论，利用脉冲响应函数数据采用奇异值分解(SVD)的方法求得系统的特征值与特征向量，从而求得模态参数.理论上在估计的处理过程中由于算法的抗噪声干扰能力可以消除所有的虚假模态，并且由于它以最小的阶数和最少的参数来描述系统的特征，故减少了计算量和计算机内存占用量.另一种使用数据相关的特征系统实现算法(ERA/DC)，它又减少了计算时间.对于这两种目前被认为比较先进的模态参数识别方法没有理由不去试图发展相应的在线算法.基于适时修正QR分解的正交化步骤，分别发展在线型的ERA,很遗憾的是他们丧失了最小阶实现，因而常常可能因为虚假模态导致算法的稳定性问题。

可以看到上述的方法绝大多数都要用到最小二乘的思想，而对最小二乘思想进行改进的全最小二乘(TLS)思想近几年来逐渐被用于系统识别和参数估计上，最小二乘方法只考虑了观测向量的误差，而全最小二乘方法同时又考虑了数据的误差，基于全最小二乘方法的系统时变参数识别方法，只讨论了单自由度系统.但笔者认为对多自由度问题也不存在理论上的困难，只是还需做更多的工作。

采用渐进搜索的人工智能方法进行研究，可以同时识别出结构动力模型和参数，仿真结果显示方法优于传统的参数识别技术，但用于实际工程结构还有许多理论问题需要解决.人工神经网络方法近几年在系统识别领域有大量的研究成果涌现，用于结构系统的对非时变的线性、非线性问题也都有一些研究论文问世，但对模态参数在线识别的应用笔者仅见文!39}一篇，它对一个单输入单输出的悬臂梁仿真验证了算法跟踪模态参数变化的能力，同时给出了一个圆板结构的一、二阶模态的在线识别的实验验证，与前述的在线型ERA或ERA/DC相比计算量相对小一些，因此它可以用到飞行器在飞行期间的主动噪声控制.该算法对单频模态问题十分有效，但对实际结构的多频模态问题，算法强烈依赖于神经网络设计所用的带通滤波器(BPF)的滤波能力(该文使用了四阶Butterworth滤波器)，它要求带通滤波器(BPF)能够将结构的各阶固有频率完全分开，这一点使得算法在实际应用中受到很大的限制.

以上是笔者在公开报导的资料上所仅见的一些方法，还没有对一般问题普遍适用的有效方法，都存在着算法复杂，需要改善计算量大及识别精度差等问题。

有关小波理论在国内外的研究进展有许多文献报导。在1997年末分别用主题词wavelet加identification和wavelet加estimation在科学引文检索(SCI)检索到文献50多篇，其中用于系统识别和参数估计的有十几篇，包括用于结构系统识别的三篇，同时又利用其它的检索手段发现，小波理论在这些领域的应用还不多，尤其是在结构系统识别领域。小波理论在系统识别领域的应用主要是利用小波基可以构成各种常用空间的无条件基，可以对函数形成良好的逼近，以及小波函数被称为“数学显微镜”良好的时频局部化能力。

考虑了在阻尼较大、模态较为密集或某些振型没被激起来情况的模态参数识别的如下加权积分变换方法的改进可以看作一个信号的小波变换，它能使权积分变换作用放大，从而在频响函数图上可以更清楚地识别模态参数。利用系统脉冲响应函数的小波变换可以进行模态滤波，进而可以识别多自由度系统的模态参数。用包络提取给出了模态阻尼的识别，用一个两自由度的例子可说明方法的有效性。

(1)对于时变特性不很明显，即结构参数随时间的变化较为缓慢的系统，使用通常的基于参数时不变假设的模态参数识别方法，如被认为目前比较优秀的最小二乘复指数法和特征系统最小实现算法也可达到一定的精度，但对数据的要求较高，算法相对复杂，而且对模态阻尼的识别精度较低，而对于导弹、飞机的颤振问题，模态阻尼的精度又是很重要的，因此对于这类问题使用方法是合适的，尽管它们还不是真正的时变的模态参数识别方法·

(2)基于短时时不变性假设，认为在较短的时间区间内系统的固有参数是常数，在这个时段内对输入输出数据使用小波变换方法来确定系统的脉冲响应函数，再使用FFT也可得到频响函数，在数据较少时小波变换方法获得系统的脉冲响应函数精度相对FFT方法要高。由此再使用时域或频域的结构系统识别方法来识别结构的模态参数，或者直接从脉冲响应函数的小波变换识别模态阻尼。这样一个时段接一个时段下去即可得到时变的结构模态参数。

(3)仿照在本文第3节叙述的在现代控制理论中的快速时变参数估计的一些新方法，对结构系统的输入、输出数据用带时变系数的AR或ARMA模型来描述，类似地用小波基展开序列来逼近时变的系数，与低通滤波器和高通滤波器及其共扼滤波器相对应的时域脉冲响应函数。从而使问题转化为非时变参数估计问题，这样最小二乘法及其相关的各种方法就都可以应用了。J的选取可根据时变系数变化的快慢及是否会出现突变等先验信息来确定，若信号有突变或变化较快，相应要选小一些，反之应大一些.最后还应该建立模型的时变系数与结构系统的时变参数之间的关系。

研究结构系统具有时变参数的参数识别方法有广泛的应用前景和重要的理论意义。进一步的工作是:

分析比较目前现代控制理论中有关时变参数识别的各种方法，提取对时变结构参数识别的可用方法，改进传统方法的识别精度和抗噪声能力;

研究时变结构识别的一些理论问题，如可识别性和可观测性等.进一步研究非线性时变结构的识别方法;

发展小波变换方法用于结构系统时变参数的识别，特别是对参数变化较快的系统参数识别的研究.应该将神经网络和小波结合起来，比如使用小波神经网络方法;

研究参数激励和外载荷激励响应对时变结构参数识别的不同影响。1