[科普中国]-线性规划图解法

简介

线性规划图解法就是用几何作图的方法并求出其最优解的过程。

求解的思路是：先将约束条件加以图解，求得满足约束条件的解的集合（即可行域），然后结合目标函数的要求从可行域中找出最优解。1

基本概念可行解把满足约束条件的一组决策变量值 称为该线性规划问题的可行解。

可行解集/可行解域满足约束条件的可行解的全体称为可行解集。

在平面上，所有可行解的点的集合称为可行解域。

最优解在可行解集中，使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。

线性规划图解法的一般步骤1、建立数学模型。

2、绘制约束条件不等式图，做出可行解集对应的可行解域。

3、画目标函数图。

4、判断解的形式，得出结论2。

举例（1）求 的最大值。

约束条件：

（2）绘制可行解域：

（3）画目标函数图：

令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域最先相交的点，这点即为问题的最优解。

（4）判断解的形式，得出结论。

本题有唯一的最优解。

解法：

最优解是由两根直线所确定的最后的交点；

解由此两根直线相应方程所组成的方程组，得到问题的精确最优解；

将最优解代入目标函数，得最优值。

将最优解代入目标函数，得最优值：