[科普中国]-降阶建模

基本概念

降阶建模(reduced order modeling)方法是优化设计、优化控制和反问题应用中常见的方法。其降维本质是将随时间变化的多维物理过程进行低维的近似描述，在捕捉系统能量的意义上达到最优化，从而达到降低计算维数、减少计算量、节省计算时间和CPU负荷的效果

模型降阶技术很早就在自动控制和电路系统领域得到应用，也一直是超大规模电路设计自动化软件的理论基础之一 。但这一基本而又朴素的思想， 作为一类具有理论依据较为系统的数学方法还是近些年的事情，如何将大规模复杂系统在一定条件下转化为较小规模近似降阶系统 ,并满足降阶系统与原系统误差足够小 ，尽可能保持原系统稳定性、无源性和结构特性等主要性能 ,同时降阶算法稳定高效等 ，也是当前计算数学的前沿研究课题 。 到目前为止 ，众多具有较为严格数学理论基础的模型降阶方法基本上是关于线性系统的。从数学上来看，最主要的降阶建模方法包括 Krylov 子空间法、平衡截断法和正交分解法 3种1。

降阶步骤根据实际设计需要，在合理时间内对系统性能和特征进行评估就必须努力简化系统模型的阶数。

模型降阶的基本思想就是将卡尔曼的最小实现理论应用于内都平衡模型上作为可控可观测子空间，得到低阶模型。可见模型降阶包含了模型阶数与由模型所反映的系统性能的程度之间的折中。其关键是去掉对脉冲响应不起作用的弱系统，得到一个其脉冲响应与全阶系统极相似的 “占优”子系统 这个“占优 子系统就是所求的低阶模型。

模型降阶的一般步骤：

（1）收集全阶模型的信息。如全阶模型随时间变化的数值解；

（2）构造降阶模型所在的低维空间。如采用SVD方法对全阶模型进行截断，只保留全阶模型的主要信息，舍弃大部分非主要的信息，构成低维空间的正交基。

（3）将全阶模型投影到低维空间，获得降阶模型。

降阶建模方法常用的模型降阶方法：特征正交分解法（Proper Orthogonal Decomposition, POD）、动力模态分解法（DMD）等。其中POD方法应用最为广泛。

Krylov 子空间法最基本和最重要的模型降阶方法是 Krylov子空间方法 , 其核心思想是采用标准正交列向量基对系统进行模型降阶，使得降阶系统的传递函数对于原始线性系统的传递函数在指定频率区域内有很好的近似。Krylov子空间方法在数学理论上相当完善，其优点是算法稳定、简单高效且能保持系统的基本特性。典型的Krylov方法包括Arnoldi降阶算法及其改进；Lanczos降阶算法及其改进；PRIMA算法及多重Krylov子空间算法等。

平衡截断法Moor提出的平衡截断法及其系列改进方法通过选择适当的映射子空间来获得高性能降阶模型。平衡截断法能直接给出降阶系统与原始系统之间的误差关系，并能够保持原始系统的稳定性。其主要缺点在于降阶过程需要求解两个Lyapunov方程，计算量比较大。因此对于百万阶以上超大规模系统，平衡截断法降阶过程的巨大计算耗费会使得降阶模型的高效性失去实际意义。

正交分解法POD方法，也被称为Kahunen-Loeve分解法，它通过一些人发展起来（首先是Kosambi），并由主成分分析、Kahunen-Loeve分解和单一值分解而为世人所熟知。该方法常被用来获取在湍流流动、结构振动和昆虫步态上低维近似描述，也被用于灾害探测上来对动态系统的应用举例，同时还被广泛应用于图像处理、信号分析和数据压缩。国内外有很多人在处理模型降阶时选择使用POD方法，比如Boris Kramer将POD方法应用于耦合的Burgers方程、Christopher Jarvis将其应用于研究具有狄利克雷边界和纽曼-狄利克雷边界的Burgers方程，G. Berkooz，P. Holmes和J. L. Lumley将其应用于分析湍流模型。

基于函数正交分解的函数逼近论降阶模型方法目前主要发展了两类。 一类是对系统的状态变量或传递函数在已知正交函数基下进行展开，然后再对系统进行降阶。其优点是简单明了，但计算过程不稳定，系统稳定性和无源性难以保证 。另一类是由系统的近似样本数据集通过构造一组基向量来对系统进行降阶，即本征正交分解法 (proper orthogonal decomposition, POD)，可有效地对非线性系统进行降阶,在数据处理中得到广泛应用，成为当前最受关注的降阶方法之一。

发展趋势与展望多学科设计对降阶模型提出挑战由于ROM 技术提供了比原系统自由度低得多的降阶模型，使得ROM 能够得到计算机近乎实时的处理，同时 ROM拥有足够的精度，ROM自然被寄予厚望用来进行与流场相关的多学科优化与设计。然而不幸的是目前几乎所有 ROM 方法，包括系统辨识方法和特征模态方法都是数据驱动的经验模型，模型的精度强烈依赖构建ROM时流场的状态，例如，雷诺数、初始条件和边界条件，对流场参数变化非常敏感，缺乏足够的鲁棒性。当参数发生哪怕是微小变化时ROM的精度就会大大降低，不满足ROM在气动弹性设计与控制等多学科领域设计与仿真应用中的要求。

自适应降阶模型研究现状由于传统POD/ROM的出现也不过是近10年的事情 , 而且对它在无流场参数变化系统中的应用仍然是当前计算气动弹性力学的研究热点，因此很少有人关注 ROM 对流场参数变化敏感的问题。从目前能查到的文献来看，最早关注这个问题的可能是美国 Syracuse 大学的 Glauser 教授。他在研究微型飞行器时为了对风洞实验在不同马赫数和不同迎角下得到的流场数据利用 POD 方法进行建模，以便预测柔性机翼在任意飞行状态下的表面流场，于 2004 年提出了 GPOD 方法。其主要思想是将参数空间多个点，如多个马赫数和迎角下的流场解都包括在内构成一个更大的 snap-shot 矩阵，然后再生成 POD 基。该方法在极低马赫数 0.04 ∼ 0.05 和 0度 ∼ 20度攻角之间变化获得了较好的效果。但是目前框架内的 GPOD 方法有两个主要的缺点，一是 snapshot 假定为非线性定常流场的线性扰动 ，因此难以包括不同定常条件下的非线性流场解，会导致 snapshot 矩阵的不一致性；二是包括不同参数空间的 snapshot 矩阵会大大降低 POD 基的收敛性，从而会导致 POD 基对任何一个马赫数都不是最优的。此外，如果飞行包线范围比较大，会导致巨大的 snapshot 矩阵从而难以求解其特征值，这样 GPOD 在非线性相当严重的跨音速区就失效了2。