[科普中国]-多变量非线性控制

随着科学技术的发展，人们对实际生产过程的分析要求日益精密，各种较为精确的分析和科学实验的结果表明，任何一个实际的物理系统都是非线性的。所谓线性只是对非线性的一种简化或近似，或者说是非线性的一种特例。如最简单的欧姆定理。

欧姆定理的数学表达式为U=IR。此式说明，电阻两端的电压U是和通过它的电流I成正比，这是一种简单的线性关系。但是，即使对于这样一个最简单的单电阻系统来说，其动态特性，严格说来也是非线性的。因为当电流通过电阻以后就会产生热量，温度就要升高，而阻值随温度的升高就要发生变化。

非线性控制理论作为很有前途的控制理论，将成为二十一世纪的控制理论的主旋律，将为我们人类社会提供更先进的控制系统，使自动化水平有更大的飞越。

控制系统有线性和非线性之分。严格地说，理想的线性系统在实际中并不存在。在分析非线性系统时，人们首先会想到使用在工作点附近小范围内线性化的方法，当实际系统的非线性程度不严重时，采用线性方法去进行研究具有实际意义。但是，如果实际系统的非线性程度比较严重，则不能采用在工作点附近小范围内线性化的方法去进行研究，否则会产生较大的误差，甚至会导致错误的结论。这时应采用非线性系统的研究方法进行研究。

非线性系统的分析方法大致可分为两类。运用相平面法或数字计算机仿真可以求得非线性系统的精确解，进而分析非线性系统的性能，但是相平面法只适用于一阶、二阶系统；建立在描述函数基础上的谐波平衡法可以对非线性系统作出定性分析，是分析非线性系统的简便而实用的方法，尤其在解决工程实际问题上，不须求得精确解时更为有效。

实际的物理系统，由于其组成元件总是或多或少地带有非线性特性，可以说都是非线性系统。例如，在一些常见的测量装置中，当输入信号在零值附近的某一小范围之内时，没有输出，只有当输入信号大于此范围时，才有输出，即输入输出特性中总有一个不灵敏区（也称死区），放大元件的输入信号在一定范围内时，输入输出呈线性关系，当输入信号超过一定范围时，放大元件就会出现饱和现象，各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，其输入输出特性为间隙特性，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结构，还常常在系统中引入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。通常，在自动控制系统中，最简单和最普遍的就是继电特性。

从非线性环节的输入与输出之间存在的函数关系划分，非线性特性可分为单值函数与多值函数两类。例如死区特性、饱和特性及理想继电特性属于输入与输出间为单值函数关系的非线性特性。间隙特性和一般继电特性则属于输入与输出之间为多值函数关系的非线性特性。

在实际控制系统中，最常见的非线性特性有死区特性、饱和特性、间隙特性和继电特性等。在多数情况下，这些非线性特性都会对系统正常工作带来不利影响。下面从物理概念上对包含这些非线性特性的系统进行一些分析，有时为了说明问题，仍运用线性系统的某些概念和方法。虽然分析不够严谨，但便于了解，而且所得出的一些概念和结论对于从事实际系统的调试工作是具有参考价值的。

第一阶段的经典控制理论(五十年代以前)以及第二阶段的现代控制理论(六十年代)，它们是建立在以线性的拉氏变换、线性代数为数学基础的传递函数和状态方程上的，它们所能直接处理的控制系统亦是线性系统.但是，实际工业过程大部分都是非线性的，这就使得经典控制理论和现代控制理论在这一时期的应用受到很大的限制，在实际应用中效果往往也不尽人意。这时期，对于非线性过程一般采取以下几种处理方法：1

(1)在工作点附近进行局部近似线性的处理。对于非线性性不是很强的系统，在工作点附近将其近似为线性系统，然后采用线性控制方法进行控制，亦能取得良好的效果.这是该时期甚至目前尚广泛采用的方法.但是，对于非线性严重的系统，它是无能为力的。

(2)采用简单的非线性控制方法。这时期还采用了类似于相平面、描述函数这样的理论方法来处理一些较特殊的非线性对象和设备，同时在控制上亦采用了如逻辑开关控制这样的非线性控制手段.它们亦能解决一些特殊的非线性控制间题，但总的来说是简单和有限的。

(3)李雅普诺夫方法.它主要用于非线性系统的稳定性分析。雅普诺夫方法用于稳定性分析时，虽然对所要研究的系统的形式没有特别的限定，但需要求出一个非线性系统的李雅普诺夫函数也并不是一件简单的事.因此，其理论指导作用在实际上往往要受到很大的限制.

多变量系统的解耦控制，是控制理论中早已提出来的重要课题之一。解耦问题之所以受到长期的重视并得到大量的研究，是由于这个问题不但在应用上有研究的迫切必要，而且在理论上亦是十分复杂而有趣的。2

所谓解耦控制，就是实现这样一个控制方式，即每个控制指令信号可对一个且只对一个输出有控制作用。因此，解耦控制有时也称作“不相关控制”或“无交连控制”。显然这种状态将给系统的控制过程带来极大的方便，是一种非常理想的控制状态。另外，系统在解耦之后，变成了若干个互相独立的单变量(单入单出)系统，从而又可用单变量控制的各种成熟技术来完成系统的设计。因此，系统解耦的另一个重要作用是架起了多变量控制与单变量控制之间的一座桥梁。

解耦控制理论的发展，是伴随着多变量系统控制理论的发展而逐步发展起来的。按照被解耦系统的复杂性程度，亦即按照描述对象的数学模型来划分，我们大致可将控制系统解耦理论的发展过程划分为如下三个阶段。

在60年代，主要由Falb与Wolovich，Gilbert等人发展起来的多变量线性系统的解耦理论，是解耦理论第一个发展阶段的重要内容。这种线性系统，通常以状态方程描述为

的形式。其中，x∈Rm为状态向量，u∈Rm为输入向量，y∈R为输出向量，A、B、C、D为具有相应维数的常数矩阵。这种基于线性多变量系统的解耦控制理论，是在线性代数以及线性微分方程的理论基础上发展起来的。这些基本结果也进一步推广到了时变及离散系统的情形。在70年代，由Wohharn所开创的几何方法，使得解耦理论的研究更深入了一步。另一方面，Woldvich，Rosenbrock等人也分别从各自的角度出发，发展了线性系统解耦的频域理论。

解耦理论的第二个发展阶段，主要是对形如

的一类非线性系统的研究。在方程中，A(x)，

Bi(x)(i =1，2，…，m)以及C(z)都是可微的函数向量；而x∈M为状态向量。对于方程表示的系统的研究，在70～80年代取得了许多进展。这些研究工作中，有不少的文献用到了微分几何，李代数等数学分支中的概念与结果。这些研究工作以不同的角度研究了这类系统的解耦问题。目前，这仍然是一个比较活跃的研究领域。

以方程所表示的这种类型的非线性系统，包括线性系统和双线性系统为其特例，已经代表了一大类实际过程的机理模型。但是，这和一般的非线性系统相比，毕竟只是代表了一类特殊结构的非线性系统。因此，只研究这样的一类非线性系统对于满足各种实际的控制问题的需要仍然是远远不够的。在对非线性系统的控制问题进行深入研究中，有必要将更一般化的非线性系统的控制问题，作为解耦控制理论第三阶段的研究目标。

七十年代以后，非线性控制得到比较大的发展，并呈现出多方向发展的趋势，可归纳为以下三大方面:

在各种特定非线性模型中，以Hammerstein模型和双线性模型所代表的系统研究得较多.利用这些模型，可以描述众多的非线性系统，再与一些先进的控制算法相结合以构成非线性控制系统.从目前的研究情况来说，以这些特定模型为基础构成非线性控制系统的主要算法有:自适应控制、预测控制、内模控制等。这方面目前仍处于发展态势：一方面各种新的非线性模型尚有推出，同时以这些模型为基础的先进算法也在发展;另外，从原来的单变量非线性系统拓展到多变量非线性系统.这些非线性控制方法的特点是比较实用且简单。

八十年代初出现的用微分几何、微分代数方法来研究非线性系统是非线性系统研究的一大突破.通过变换，非线性系统可以化为线性系统那样来处理.这种变换不同于经典时期的在某点附近的近似线性化，而是在大范围(甚至全局的)的精确线性化.运用这些方法，有可能实现非线性系统的大范围分析综合。由于这些原因，使得这一领域的研究成为目前控制界的热门研究课题之一。基于微分几何的非线性控制方法对于一般的非线性系统尚无能为力。另外，此方法需要有精确的数学模型，这在实际应用中亦受到很大的限制。

近年来发展迅速的人工神经网络、模糊控制等，由于其自身的非线性特性，使其在本质上既可用于线性控制，亦可应用于非线性控制.特别是人工神经网络，经训练可以逼近任意非线性函数，这就使其在非线性控制中大有作为。基于神经网络的预测控制、自适应控制、内模控制、逆模型控制等，都在一定程度上获得了较好的非线性控制效果。还有智能控制中的交叉综合方法亦可应用于非线性控制，如模糊神经网络控制等。这方面亦是控制界的一大热点.人们尚在不断地研究适用于一般非线性系统的有效且实用的控制策略。1