[科普中国]-控制系统优化

优化问题的专有名词寻优参数

假设a为m维寻优参数向量，由于具体取值有待于选择，因此将其称为设计变量（或设计参数）。m为设计变量的个数。显然，当a取不同值，就能够得到不同的设计方案。因此，需要在m维参数空间中进行优化。1

约束条件在优化过程中，寻优参数的某些组合情况可能会产生一些明显不合理的设计。如设计的结果不满足工程技术要求，或超出了某些允许范围。而这些允许范围在数学上是可以化为约束条件的。值得注意的是，在许多工程问题中，约束条件往往不能写成优化参数的显函数形式，只要是“可计算”的函数即可。1

目标函数在控制器的所有可行设计中，一些较好的设计肯定具有更好的某种（或某些）性质。如果这种性质可以表示为寻优参数的一个可计算的函数，那么只需要寻求这个函数的极值，即可得到“最优”的设计，而这个用来使设计得以优化的函数就称为目标函数。为了强调它对寻优参数的依赖性，可以将其写成Q(a)。同样在工程问题巾，Q(a)不一定能写成显函数形式，只要求是“可计算”的函数。整个优化设计中，选择目标函数是最重要的决策。如果选择不当，寻优结果对实际应用可能没有太大的帮助。1

约束优化问题的无约束处理在实际的丁程应用中，寻优参数的取值范围总是要受到限制的，即总是要在一定的约束条件下来求目标函数的最优解。当这些约束对于寻优参数的限制是很宽的，以至于可以确信在附近约束条件都能够得到满足，则可以把它看成无约束优化问题来处理。如果在附近约束条件可能被破坏，那么就需要根据约束的不同情况，将约束优化问题转换成无约束优化问题来处理。1

控制系统的优化问题在实际应用中，为了获得最佳的设计效果，对于一些复杂的系统，其优化过程往往需要采用仿真来完成。随着计算机的发展为仿真技术提供了更有效的计算手段，使得这种技术得以广泛地应用。目前，为了确定控制器的结构及其参数，人们提出了两类优化问题：函数优化问题和参数优化问题。1

函数优化问题函数优化问题也称为动态优化问题。通常在这类问题中，并不能预先得知控制器的结构，往往需要设计出满足某种优化条件的控制器。在数学上，此类问题也被称为泛函问题，即所谓寻找最优函数的问题。在控制理论中．通常将这类问题归为最优控制的范畴。1

参数优化问题参数优化问题也称为静态优化问题。在这类问题中，控制器的结构和形式往往是已经确定的，但需要调整或寻找控制器的参数，使系统性能在某种指标意义下达到最优。

寻优途径在数学上，解决参数优化问题的途径一般有两条：间接寻优和直接寻优。

间接寻优它是一种按照普通极值存在的充分必要条件进行寻优的方法，也可以看做是一种解析方法。由于在控制系统的参数优化问题中，一般很难将目标函数Q(a)写成解析形式，只能在对系统进行仿真的过程中将其计算出来，并且求导Q(a)的过程也不容易实现，基于这些原因，间接寻优法的应用很少。

直接寻优它是一种按照一定的寻优规律改变a，并且直接计算目标函数Q(a)的值，然后判断Q(a)是否达到极小，当达到极小时，停止搜索；否则改变a，并计算Q(a)，不断重复该步骤，直到满足要求为止。1

优化方法的评价在直接寻优法中，不同的确定寻优步距和寻优方向，对应了不同的寻优方法。评价一种优化方法的优劣，主要考虑以下几个方面：

收敛性寻优过程就是逐步搜索满足Q(a)为极小值时的a值，迭代过程的收敛性好坏，表示某种优化方法适应范围的大小。

收敛速度为了求出同样精度的极小值点，不同的优化方法所需要的迭代次数不同。

每步迭代所需要的计算量在控制系统的参数优化设计过程中，往往需要对a的值进行许多次迭代计算才能搜索到极小值点，而每次迭代都需要重新计算寻优步长和寻优方向，还需要对系统的运动方程进行仿真并计算目标函数。每步迭代所需的计算量也是决定寻优速度的另一个重要因素。

控制系统优化设计中目标函数的构成加权性能指标型目标函数和误差积分型目标函数是控制系统优化设计中两大类常用目标函数。

加权性能指标型加权性能指标型目标函数是一类根据经典控制理论设计系统的性能指标建立起来的，如系统在阶跃信号作用下的上升时间，调整时间，超调量及振荡次数N等。通常，对于这些性能指标的要求往往存在矛盾性，此时可以采用加权的方法建立目标函数。1

误差积分型误差积分型目标函数是一类由误差构成的目标函数。对于一般随动系统，误差定义为输出信号和系统输出之差。一般常用的目标函数如下：

（1）误差绝对值的积分（IAE）；

（2）误差平方的积分（ISE）；

（3）时间乘以误差绝对值积分（ITAE）；

（4）时间乘以误差平方的积分（ITSE）；

（5）时间平方乘以误差绝对值的积分（ISTAE）；

（6）时间平方乘以误差平方的积分（ISTSE）。

一般的，在实际计算时，时间不可能取无穷大，而是根据系统的过渡过程时间，即一个足够反映系统响应的有限值来确定。需要指出的是，无论是哪一种类型的目标函数，通常都很难写成寻优参数的解析表达式，而只是隐含这些参数，因而很难采用解析法计算Q(a)。1