[科普中国]-非线性系统控制

基本概念非线性系统

所谓非线性系统，指的是系统的状态与输出变量在外部条件的影响下，不能用线性关系来描述的系统。系统受到的这种影响是相对于系统输入的运动特性来说的。由于组成系统的各部件在不同程度上存在非线性的性质，因此在实际生活中，绝对线性的系统是不存在的。为了改善系统的这种非线性性以得到稳定的系统，需要通过设计控制器来研究系统的稳定性，由此产生了相平面法、描述函数法和谐波平衡法等。在过去的几十年里，对于非线性系统的研究，产生的很多新兴的控制理论中，普遍结合了李雅普诺夫稳定性理论，例如以Kokotovic为代表的反推控制理论(Backstepping ) ，以意大利Isidorii教授为代表发展起来的微分几何控制理论，以Swaroop和Hedrick等人为代表基于反推控制理论发展起来的动态面控制设计方法，以Zade和Mamdani教授为代表发展起来的模糊数学和模糊控制理论。迄今为止，李雅普诺夫方法己经成为研究非线性系统最常用也是最为完善的一种方法，通过构造李雅普诺夫泛函、构造系统控制器来研究非线性系统的稳定性也己取得显著成效。

非线性控制非线性控制系统，是这样的控制系统，它的运动微分方程是由非线性的常微分方程描述的。
最早出现的控制系统大都被视为线性的，如液面高度调节器、瓦特蒸汽调节器。这就是说，我们采用了系统的一个线性模型来代替真实的系统。真实的系统中，某些非线性被人们用线性关系代替了，另外一些非线性则被忽略掉了，于是建立起了系统的线性模型。

随着科学技术的发展，被控制的对象种类越来越多，控制装置也更加复杂，同时对控制的精确性也提出了各种更高的要求，线性系统模型就显得不适用了。例如，被控系统中常出现不衰减的自持振动，就是一个突出的例子。这种在实际中观测到的自持振动(简称自振)，是线性系统模型中所不能存在的。又例如，各种继电器系统被大量采用，用线性理论也不能分析这类控制系统。工程技术的需要促进了非线性控制系统的不断发展，形成了控制理论的一个分支。

研究现状自20世纪80年代以来，非线性科学越来越受到人们的重视，数学中的非线性分析、非线性泛函，物理学中的非线性动力学，发展都很迅速。与此同时，非线性系统理论也得到了蓬勃发展，有更多的控制理论专家转入非线性系统的研究，更多的工程师力图用非线性系统理论构造控制器，取得了一定的成就。主要表现在以下几个方面：

精确线性化方法
非线性控制系统理论与应用研究在近20年来取得了可喜的进展。特别是以微分几何为工具发展起来的精确线性化方法受到了普遍的重视。通过适当的非线性状态和反馈变换，非线性系统可以实现状态或输入/输出的精确线性化，从而将复杂的非线性系统综合问题转化为线性系统的综合问题。它与传统的利用泰勒展开进行局部线性化近似方法不同，在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线性项，因此这种线性化不仅是精确的，而且是整体的，即线性化对变换有意义的整个区域都适用。该方法将相对广泛的一类非线性系统经过一个微分同胚的映射或变换，也能够像线性系统一样，通过控制的作用可以从状态空间中的某一初始状态运动到另一终止状态，此即我们在线性系统理论中熟悉的能控性。

变结构控制
早在20世纪50年代末，苏联学者就已开展了对变结构系统基本理论的研究。变结构控制系统所呈现出的特有性质如对干扰的不变性和降阶特性，引起了西方控制界的高度重视。变结构控制严格的应称为具有滑动模态的变结构控制，它是目前非线性控制系统较为普遍、较系统的一种综合方法。构造变结构控制器的核心是滑动模态的设计，即切换函数的选择算法。对于线性控制对象来说，滑动模态的设计已有较完善的结果，对于某些类非线性对象，也己提出了一些设计方法。变结构滑模控制实现起来比较简单，对外干扰有较强的鲁棒性。变结构滑模控制虽然有许多优点，但也存在一些不足之处，主要是会产生抖振。对于这个问题也已提出了一些消弱抖振的方法，但并未完全解决。

非线性频域控制理论
对线性控制系统最初也是在时域内研究的，但由于当时解高阶微分方程是很困难的事，人们采用拉普拉斯变换和傅里叶变换作为数学工具，将微分方程变成代数方程，然后在频域内进行控制系统的分析与设计。频域法实际物理意义明确，计算简便，而且控制器设计具有鲁棒性，因此在实际中得到了广泛的使用。G. Zames于1981年提出了H∞控制的思想，其主要思路是一系统某些信号间的传递函数的H∞范数为优化指标，对于跟随问题希望干扰频谱对输出产生的频率响应为最小。H∞控制理论从现在的研究情况来看主要是在时域内讨论H∞的求解方法，但它所揭示的思想是一种频域综合法，并可用来进行非线性控制系统的综合。在多维频域空间内，基于广义频率响应函数描述，研究非线性控制系统H∞控制的求解问题是一个重要的研究方向。

混沌动力学方法
混沌运动的发现，在科学界引起了很大波动。由于混沌运动是非线性系统一种比较普遍的运动，所以引起各个领域科学家们的广泛兴趣，己经成为各个学科的研究人员普遍关注的前沿性课题。在许多典型自适应控制系统、数字控制系统及神经网络系统中都潜在着混沌运动。G.Chen先后研究了几个典型混沌模型和控制问题。在国内，东南大学田玉楚等用随机控制(预测控制)的方法讨论了一类简单混沌系统的控制问题。动力学系统理论的巨大发展可能对非线性控制系统带来重大影响。

以上的这些方法只能解决某些特定类型的非线性系统的控制问题，并且需要己知被控对象的数学模型。然而，建立某些非线性动态系统的可以用来设计有效控制策略的数学模型，并不是一件容易的事。即使建立起了它们的数学模型，往往也只能是反映系统的部分特征的近似模型。因此，不依赖被控对象数学模型的非线性系统的控制方法具有一定的普遍适用性。

由此，韩志刚教授提出一种不依赖于系统的数学模型就可以设计系统的有效的控制律途径。像经典的PID调节器那样，仅从系统的某些动态特性出发，构造不依赖于系统的模型但可用于非线性、多输入情形的调节器，称之为无模型控制器。这种调节器具有良好的输出跟踪性能，大量的仿真计算和实际应用进一步说明了这种调节器的有效性。

此外，随着智能控制的发展，模糊控制以及神经网络控制等方法都可以有效地解决非线性系统的控制问题。
模糊控制不需要己知被控对象的数学模型，而是基于专家经验和领域只是总结出若干条模糊控制规则，构成描述具有不确定性、复杂对象的模糊关系，从而对系统进行控制;神经网络控制可以看作是一个具有m维向量输入和n维向量输出的非线性动力学系统，并通过一组状态方程和一组学习方程加以描述，然后通过修正这些连接强度进行学习，从而调整整个网络的输入输出关系。

方法早期的经典非线性控制方法包括相平面法和描述函数法等，主要以死区、饱和、间隙、摩擦和继电等基本非线性因素为研究对象，仅适合于一些简单的、特殊的非线性系统，难以处理复杂的非线性系统控制问题。经过近几十年的发展，非线性系统控制理论己经取得了长足的进步，涌现出许多新的非线性系统控制方法，包括反馈线性化、反推设计法和滑模控制等。下面对这几种常见的非线性系统控制方法进行了简要概述。1

反馈线性化20世纪80年代，Isidori等学者提出了以微分几何为基础的反馈线性化方法，该方法的基本思想是通过构造微分同胚变换，将非线性系统控制问题转化为容易处理的线性系统控制问题，然后借助熟悉的线性方法进行控制器设计。与近似线性化相比，反馈线性化最大的特点是不会引入系统误差，从而线性化前后的系统是拓扑等价的，因此，反馈线性化又称为精确线性化。在实际应用中，反馈线性化一般要求系统模型精确己知，不能用来处理具有未知参数的非线性系统，这在很大程度上限制了反馈线性化方法的使用范围。为克服这一缺陷，文献[21〕提出了在满足匹配条件下非线性系统的自适应反馈线性化控制方法。文献[22〕进一步减弱了该条件，提出了一种推广匹配条件，然而，为了保证系统的全局稳定性，要求模型中的非线性项满足线性增长条件。

反推设计法
1991年，著名学者Kanellakopoulos, Kokotovic和Morse提出了一种具有里程碑意义的非线性设计方法一反推设计方法，该方法采用迭代递推设计的方式，从不含控制输入的第一个子系统开始，向含有控制输入的子系统“反推”进行控制器设计。与反馈线性化相比，反推设计法彻底去除了推广匹配条件，具有较强的处理非线性系统不确定性的能力。一般而言，基于标准反推设计法的控制方法要求所研究的非线性系统满足仿射条件，针对一类非仿射高阶非线性系统控制问题，有的文献推广并改进了标准反推设计法，提出了一种新的基于“稳定域思想”的递推设计方案一增加幂次积分法，与标准反推设计法相比，该方法可适用于更一般的非线性系统。

滑模控制
滑模控制是一种以前苏联学者为代表发展起来的不连续非线性控制方法。与其他非线性控制策略相比，滑模控制不要求系统“结构”固定，而是根据系统当前状态设计切换控制器，迫使系统沿预定的滑模面方向运动，所以滑模控制又称为变结构控制。从理论上来讲，滑模面可以按需要设计，且与系统的不确定性与外界扰动无关，因而，滑模控制具有快速响应、抗干扰性能好及易于在线实现等特点，这些优点使得滑模控制广泛应用于实际非线性系统中。然而，滑模控制的不连续性通常会引发系统的颤振，降低了控制的精确性，并可能激发系统中未建模的高频动态，从而破坏系统性能。为降低滑模控制中的颤振，许多学者从不同角度提出了许多解决方法，主要包括准滑动模态法、连续函数近似法和边界层设计等。

局限性人们对非线性系统控制理论的研究，虽然较之对线性系统的研究而言，是滞后一步，但是人们试图取得与线性系统相平行的成果，有些问题己经有了一个良好的开端，如非线性系统的可控性，可观测性等系统的基本性质;但是，仍有很多重大的、根本的问题并没有得到系统化的方法。一这表明与线性系统理论相比较，非线性控制系统的理论体系远未建立起来，也远远不能满足工程技术及各种其他领域中出现的问题需要。

就非线性系统的控制问题来说，用“线性系统”的理论与方法来解决非线性问题，是一种容易想到的可能途径。以泰勒级数展开并舍去高次项为代表的“舍去”线性化方法，虽然可以将非线性函数及系统化为线性的，但是“舍去”将使新系统面目全非，以致完全丧失非线性的最特征的东西，另一方面，用泰勒级数展开方法，还要受到工作点的影响。一般来说系统的工作点不只是一个，工作点的改变，泰勒级数展开式也要随之改变，所以这种线性化将面临多个甚至无穷多个系统的控制问题。这是一个很复杂的问题;若不用泰勒级数展开的手段处理非线性系统的线性化，而将非线性系统用非线性状态反馈及非线性状态变换等手段化为线性系统，也不乏是处理非线性系统控制问题的一种有效方法。然而，该方法亦有其局限性，其一是这途经十分复杂，不易在实践中实现；其二是它只能解决一类特殊类型的非线性系统。2