[科普中国]-连续混沌系统

混沌学是80年代初期建立起来的一门新兴学科。它是以一种新的方式重新对自然进行描述，揭示了自然界及人类社会的复杂性、有序和无序的统一，大大加深了人们对自然界的了解。目前，混沌的研究不仅遍及自然科学的各个领域，而且已有成功的实际应用。1

近年来，基于观察时间序列的混沌控制理论和实验验证研究逐渐成熟起来，这些方法的共同特点是对被控混沌系统的先验知识要求较少。这些方法包括：一是基于时间序列辨识模型和Lyapunov法来设计非线性反馈控制器的方法，如Poznyak等人用动态神经网络、Chen等人用二阶Volterra级数辨识模型实现了未知连续混沌系统的有效控制，但它要求较大的存储空间存储观察时间序列，以便用于离线方式进行时间序列模型辨识；二是用观察数据来脉动地改变混沌系统的状态变量的脉冲控制法，该方法通过对混沌系统输出的连续观察来构造控制输入信号，需要在一个很短的时间内改变状态变量，然而并不是所有混沌系统都能通过直接改变系统状态变量就能实现混沌现象的控制；三是罗晓曙等人采用的有限脉冲响应滤波器控制混沌方法，但这种方法的控制参数选择较困难。2

连续混沌动力学系统：

其中，，

Lorenz 系统最初是 Edward Lorenz 研究的普通微分方程组。 对某些参数值和初始条件有混沌的解决方案是值得注意的。 特别地，Lorenz 吸引子是 Lorenz 系统的一套混沌解决方案，当绘制时，它类似于蝴蝶，如图1。

1963年，爱德华·洛伦兹（Edward Lorenz）开发了一个简化的大气对流数学模型。该模型是现在称为洛伦兹方程的三个常微分方程的系统：

其中， 、 和 构成系统状态， 是时间， 、 和 是系统参数。Lorenz方程也出现在激光器的简化模型中，发电机，无刷直流电机，电路，化学反应和正向渗透。

从技术的角度来看，Lorenz系统是非线性的、非周期的、三维的和确定性的。

Chua’s系统是一种电路系统，自从提出以来，由于其巨大的应用前景，近年来已成为非线性电路中混沌控制及神经网络研究的新热点。Chua’s电路可以展现任何三阶非线性系统的定量动力学状态，其中包括一个奇对称的三部分分段线性函数。系统的状态方程为：

式中，非线性项 ，当系统取 ， ， ， 时，上式描述的系统呈混沌状态。3

混沌同步即一个系统的轨道将收敛于另一系统轨道的同一值，它们之间始终保持步调一致，且这种同步是步调稳定的。1

驱动响应同步使用驱动变量替换响应系统中的变量，也可称为变量替换型。在驱动响应同步中必须把一个混沌系统(驱动系统)分成两个子系统：一是稳定的子系统(李亚普诺夫指数均为负值)，二是不稳定的子系统，这大大限制了该类型的实际应用范围。文献 4提出了一种改进方案，称为主动被动同步法。它将原系统写成含有某种驱动变量的非自治系统形式，复制相同的响应系统，通过用线性化稳定性分析方法或李亚普诺夫函数方法分析两个系统的差值，证明它们达到了稳定同步。这种方法可以实现两个混沌系统的同步。

考虑非线性混沌系统的输出信号与输入信号之间的自反馈耦合，或者从系统外部强迫输入一定的周期信号，或者直接把系统本身的输出信号取出一部分但经过时间延时后再反馈到混沌系统中去，作为控制信号，通过调节控制信号的大小和权重因子，达到稳定所期望的周期信号。Pyragas5提出的连续变量反馈混沌控制方案分为两个步骤：先记录所需的混沌信号，保存下来；再利用小的反馈微扰信号作为控制信号，反馈到原系统中去。适当的调整反馈微扰信号的权重因子可以实现混沌同步。该方法不仅可以应用于一个变量，也可拓广于多个变量。文献6 对变量反馈法进行了详细的仿真和稳定性分析，当三个反馈变量相等，即可同步，且越大，同步效果越佳。如果用单变量反馈，最大李雅普诺夫指数随增益系数的变化有个最小值，对应最佳同步。

1994年John和Amritkar给出了一种采用自适应控制实现混沌同步的方法7，对可得到的系统参数进行控制，使系统的所有变量可自由演化。受控参数的变化依赖于两个因素：一为系统输出变量与期望轨道的相应变量之差；二是受控参数的值与期望轨道相应的参数值之间的差别。运用自适应方法Lorenz和Rossler系统可达到同步，也可实现高阶混沌系统和超混沌系统的同步，超混沌系统与混沌系统的不同之处在于存在两个正的李亚普诺夫指数，实现超混沌同步控制并不一定要求组合系统的条件指数必须小于零；在都能实现同步控制的控制参数下，控制能量越大，同步暂态过程越短。在相同的控制能量下，混沌系统较之超混沌系统更易于控制。5

人工神经网络(简称ANN)是由大量基本单元(神经元)按一定结构连接而成的复杂非线性系统。自从神经网络的第一个模型建立以来，ANN的研究几经兴衰，其中两项理论成果的提出对ANN的研究起到了直接的推动作用，其一是Hopfield关于动态神经网络及其稳定性的研究，其二是用于多层感知器网络的学习算法反向传播(BP)算法。径向基函数神经网络因其具有快速的学习速度，同时和BP算法一样，能以任意精度逼近任意连续函数，可用神经网络逼近原系统和待同步系统，并以两个网络的输出之差作为待同步系统的控制信号。