[科普中国]-控制性能

控制系统的数学模型

在控制系统的分析设计中，首先要建立控制系统的数学模型，数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间的关系的数学表达式。建立控制系统数学模型的方法通常有分析法和实验法两种。

（1）分析法

需要已知系统各部分依据的物理规律或化学规律列出相应方程。

（2）实验法

实验法人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方式又称为系统辨识。

在使用分析法进行系统建模时，常见的模型有时域模型、复域模型。

时域模型使用微分方程描述的系统模型称为时域模型。在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以获得系统的输出响应。这种方法比较直观，有助于借助计算机迅速求得结果。但如果系统结构改变或某几个参数改变时，就要重新列方程求解，不便于系统分析和设计。

复域模型使用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型：传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统结构或参数变化对系统性能的影响。

**传递函数定义：**线性定常系统的传递函数 ，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 ，与输入量的拉氏变换 之比。

传递函数的性质

（1）传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。

（2）传递函数是一种用系统参数表示输入量与输出量之间关系的表达式，只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关。

（3）传递函数与微分方程有相通性，两者（两个类型的系统模型）可以用d/dt与s互相置换的方式变换。

（4） 的拉氏反变换是脉冲响应 ，即脉冲函数 输入时的输出响应。1

控制系统的性能指标控制系统性能评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类。为了求解系统的时间响应(我们关注的性质)。必须了解输入信号（即外作用）的解析表达式。然而在一般情况下，外加输入有随机性无法预知。

典型输入信号研究分析系统的性能指标时，通常选择若干典型输入信号作为动态性能指标和稳态性能测试之用，典型输入信号包括：

单位阶跃函数

单位斜坡函数

单位加速度函数

单位脉冲函数

正弦函数

实际中采用上述哪种典型输入信号取决于系统常见的工作状态。同时，在所有可能的输入信号中，选择最不利的信号作为典型输入信号测试系统指标。在典型输入信号作用下，任何控制系统的时间响应都有动态过程和稳态过程两部分组成。因此，系统的时间响应、动态、稳态过程与动态、稳态性能指标以及典型输入信号的关系如图1所示。

动态过程与动态性能指标（1）动态过程

动态过程又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦及其他原因，系统输出量不可能完全复现输入量的变化。根据系统结构和参数的选择，动态过程表现为衰减、发散、等幅振荡等形式。

（2）动态性能

系统的动态过程提供系统稳定性、响应速度及阻尼情况，由动态性能指标描述。通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。描述稳定的系统在单位阶跃函数的作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。系统的单位阶跃响应如图2所示。

上升时间（rise time）tr

指响应从终值 上升到终值 所需的时间；对于有振荡的系统，也可定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。上升时间 是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，响应速度越快。

峰值时间tp****

指响应超过其终值达到第一个峰值所需的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。

调节时间（settingtime）ts

指响应到达并保持在终值(或)内所需的最短时间。调节时间是评价系统响应速度和阻尼程度的综合指标。

超调量（overshoot）：σ%

指响应的最大偏离量与终值之比的百分数，即

若，则响应无超调。评价系统的阻尼程度。

稳态过程与稳态性能指标（1）稳态过程

稳态过程指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态过程又称为稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能描述。

（2）稳态性能——稳态误差（steady-state error）

稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。若时间区域无穷时，系统的输出量不等于输入量或者输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。1