[科普中国]-广义非线性系统

基本概念广义系统

广义系统又称为奇异系统，广义状态空间系统，微分代数系统等。广义系统是客观系统的一种自然表示，它可用来描述系统的更多性能特征，已经在大系统、奇异摄动理论、电路理论、经济学理论等方面得到广泛的应用。另外，广义系统也可作为一种处理问题的方法，这在当前处于如火如茶研究状态中的时滞系统文献中可见一斑。由于这些原因，广义系统越来越受到学者的关注。

非线性系统所谓非线性系统，指的是系统的状态与输出变量在外部条件的影响下，不能用线性关系来描述的系统。系统受到的这种影响是相对于系统输入的运动特性来说的。由于组成系统的各部件在不同程度上存在非线性的性质，因此在实际生活中，绝对线性的系统是不存在的。为了改善系统的这种非线性性以得到稳定的系统，需要通过设计控制器来研究系统的稳定性，由此产生了相平面法、描述函数法和谐波平衡法等。在过去的几十年里，对于非线性系统的研究，产生的很多新兴的控制理论中，普遍结合了李雅普诺夫稳定性理论，例如以Kokotovic为代表的反推控制理论(Backstepping ) ，以意大利Isidorii教授为代表发展起来的微分几何控制理论，以Swaroop和Hedrick等人为代表基于反推控制理论发展起来的动态面控制设计方法，以Zade和Mamdani教授为代表发展起来的模糊数学和模糊控制理论。迄今为止，李雅普诺夫方法己经成为研究非线性系统最常用也是最为完善的一种方法，通过构造李雅普诺夫泛函、构造系统控制器来研究非线性系统的稳定性也己取得显著成效。

分类非线性离散广义系统早在20世纪50年代，由于数字计算机在工程和科学上应用的增加，对控制理论家、经济学家及生物学家来说，离散系统的研究就已经引起了人们的关注。尤其是近四十年来，随着系统理论研究领域的扩大和计算机技术的广泛普及应用，离散控制系统得到了迅速发展。由于数字计算机进行计算时在时间上是离散的，当一个系统用数字计算机进行控制或用数字计算机进行模拟、分析和设计时，就需要将时间变量考虑为离散变量，而描述的大都是非线性的，因此研究非线性离散广义系统是有必要的。有的文献主要对非线性离散广义系统的输出反馈H∞控制器的设计问题进行讨论，首先利用广义Lyapunov函数和线性矩阵不等式，对系统的零解E一渐近稳定性问题进行分析，在此条件基础上给出系统零解E一渐近稳定且具有H∞范数约束的充分条件，然后设计系统的输出反馈H∞控制器，使得闭环系统具有同样的性能。有的文献利用李雅普诺夫方法，研究了非线性离散广义系统，给出了非线性广义系统稳定性定理，就一类非线性离散广义系统，给出了其按线性近似的稳定和不稳定的条件。有的文献运用广义Lyapunov函数方法研究了非线性广义系统的稳定性问题，同时考虑具有某种分解该类大系统的渐近稳定性，又给出解的有界性，平稳振荡存在性的判别准则。有的文献研究了非线性广义系统的状态观测器问题，在理想系统(不存在干扰、不确定项和非线性项的广义线性定常系统)完全可观测的条件下，根据不同情况，分别利用广义系统解的基本理论和正常系统Lyapunov稳定性理论，对所研究的非线性广义系统分别设计了全阶的奇异Luenberger型非线性状态观测器和降阶的正常线性或非线性变结构状态观测器，从所得结论可知，在系统结构确定的情况下，只要非线性项满足Lipschitz条件，则系统存在奇异全阶非线性状态观测器；若系统存在干扰和不确定项，只要干扰和不确定项有界，系统存在降阶的正常线性或变结构非线性的鲁棒状态观测器。

非线性连续广义系统目前研究热门主要在广义非线性系统方面，在控制系统的理论研究和控制设计中，非线性系统的渐近稳定性都是非常重要的问题，也是人们关注和重视的，许多文献都对此问题做过研究。由于非线性系统求解的困难性，广义系统的求解与稳定性分析是系统控制问题的一个重要内容。对于广义线性系统的控制分析与求解已经有了许多成型的研究成果。对于非线性广义系统稳定性分析，通常要借助于线性化系统分析，且有一定的附加条件，给复杂问题分析带来不便。

在控制系统的理论研究中，稳定性和镇定是密切相关的两个重要概念。在控制设计中，常用的手段是基于判别稳定性的镇定方法。广义非线性系统的渐近稳定与镇定问题一直受到人们的关注和重视。有的文献对几类特定的非线性系统设计出特殊的非线性控制器，使相应闭环系统成为渐近稳定系统。有的文献研究了非线性广义系统的鲁棒镇定问题。有的文献研究了非线性广义系统的鲁棒控制问题。

稳定性是系统控制设计理论中的一个最基本性质，19世纪末俄国数学家Lyapunov建立了稳定性的基础理论，提供了一套分析非线性时变系统稳定性强有力的工具，即引入正定且沿系统解的导数为负定的Lyapunov函数，来保证系统一致渐近稳定。随之，Barbashin和Krosovskii将Lyapunov函数沿轨道导数负定的要求减弱为半负定，将结论推广到周期时变系统中去，但是在将此想法推广到一般的时变系统上去时，遇到了实质性的困难。

由于Lyapunov方法在判别系统稳定性时不依赖于系统的解，因而在控制设计中被广泛应用，然而在通常情况下，寻找合适的Lyapunov函数却是一件困难的工作。在控制应用中，我们常取能量函数作为备选Lyapunov函数，通常情况下能量函数本身是正定或半正定，其沿系统解的导数是半负定的。

已有的成果可以看成是Krosovskii-LaSalle定理在时变系统中的推广。另一种方法是：一致收敛的持续激励条件(PE条件)，对时变系统，PE条件是验证一致吸引的很有用的工具，近年来的研究中，有些文献中提到这些方法中给出的条件都比较难以验证。Matrosov定理是验证一致渐近稳定的很有效的工具，其特点是：利用C'Lyapunov函数建立一致稳定性以及利用C’辅助函数在一定条件下建立一致吸引性。

自加拿大学者Zames于1981年提出以控制系统内某些信号间的传递函数的H∞范数为优化指标的设计思想以来，H∞控制理论己取得了较大的进展，特别是在正常系统范围内。众所周知，在实际问题中大多数情况下是不能用线性模型来描述其真实系统的，而必须用非线性模型刻画。有的文献研究了广义系统的鲁棒控制问题，过去许多学者在这方面做了一些工作并取得了一定成果。但由于非线性系统较复杂，关于非线性广一义系统的稳定性和鲁棒控制方面的研究并不是很多。1

难点研究非线性广义系统稳定性的难点在于：

(1)系统解的存在唯一性很难满足；

(2)系统解可能有跳跃或脉冲行为；

(3)利用Lyapunov理论时，Lyapunov函数的导数一般不易计算。

有的文献在系统相容初始条件已知的前提下，研究了非线性广义系统的稳定性问题，给出了系统稳定的充分条件。在有的文献中，Lyapunov稳定性理论被平行推广到广义系统。有的文献给出了非线性广义系统局部稳定的一个充分条件。有的文献同时研究了一类非线性广义系统的可解性和稳定性。有的文献利用广义向量Lyapunov函数讨论了一类广义大系统的稳定性问题。有的文献研究了Lipschitz非线性广义系统的稳定性问题，给出系统稳定的充分条件。2

应用背景二十多年来，人们发现，用广义系统来刻画实际系统应用中经常遇到的一些系统比正常系统来的自然、方便、精确的多。例如，在经济系统中，1977年Luenberger和Arbel发现著名的动态投入产出模型就是典型的广义系统，纽曼模型也属于广义系统。另外，像受限机器人，核反应堆等都必须用广义系统模型来刻画。广义系统是刻画和描述实际系统的有力工具，广义系统模型的提出具有深刻的实际应用背景，且存在于社会生产的诸多领域中。例如：电力系统、经济系统、电子网络、机器人系统、宇航系统和环境系统等。3