[科普中国]-独立同分布变量

在概率统计理论中，随机过程中，任何时刻的取值都为随机变量，如果这些随机变量服从同一分布，并且互相独立，那么这些随机变量是独立同分布的，这些变量称为独立同分布变量。1

性质：

（1）服从同一分布

（2）相互独立

以一维随机变量为例：

观察一个随机现象，其样本点可以是具有数量性质的，也可能是非数量性质的，前者如抛一枚骰子，可能出现的点数是1点、2点、...、6点；后者如掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，现在约定：“出现正面”记为1，“出现反面”记为0。无论是哪一种情形，都体现出这样的共同点：对随机试验的每一个可能结果，有唯一一个实数与之对应。这种对应关系实际上定义了样本空间 上的函数， ， 。

设 是定义在样本空间 上的实值单值函数，称 为一维随机变量。随机变量，通常用大写字母 X,Y,Z,W,...表示1

在概率论中，相互独立，是设 、 是两事件，如果满足等式 ，则称事件 、 相互独立，简称 、 独立。

设 、 是试验 的两个事件，若 ，可以定义 。一般， 的发生对 发生的概率是有影响的，所以条件概率，而只有当 的发生对 的发生没有有影响的时候才有条件概率 。这时，由乘法定理。

注：若 ， ，则 、 相互独立与 、 互不相容不能同时成立，即独立必相容、互斥必联系。

推广：

设 、 、 是三个事件，如果满足 ， ， ， ，则称事件、、相互独立。

更一般的定义是， 是个事件，如果对于其中任意2个、任意3个、…、任意n个事件的积事件的概率，都等于各个事件概率之积，则称事件 相互独立。1

（1）均匀分布

设连续型随机变量 X 具有概率密度

则称 X 在区间(a,b)上服从均匀分布，记为

（2）指数分布

设连续型随机变量 X 具有概率密度

其中， 为常数，则称 X 服从参数为 的指数分布

（3）正态分布

设连续型随机变量 X 的概率密度为：

其中， 为常数，则称X 服从参数为 的正态分布。1

已知随机变量 相互独立且同分布，方差为 ， ，求 。1

解答：

设 ，则有

将下面的式子带入，很容易得到：