[科普中国]-广义线性系统

基本概念线性系统

线性系统是指同时满足叠加性与均匀性（又称为其次性）的系统。所谓叠加性是指当几个输入信号共同作用于系统时，总的输出等于每个输入单独作用时产生的输出之和；均匀性是指当输入信号增大若干倍时，输出也相应增大同样的倍数。对于线性连续控制系统，可以用线性的微分方程来表示。不满足叠加性和均匀性的系统即为非线性系统 。

由于线性系统较容易处理，许多时候会将系统理想化或简化为线性系统。线性系统常应用在自动控制理论、信号处理及电信上。像无线通讯讯号在介质中的传播就可以用线性系统来模拟。

广义系统广义系统又称为奇异系统，广义状态空间系统，微分代数系统等。广义系统是客观系统的一种自然表示，它可用来描述系统的更多性能特征，已经在大系统、奇异摄动理论、电路理论、经济学理论等方面得到广泛的应用。另外，广义系统也可作为一种处理问题的方法，这在当前处于如火如茶研究状态中的时滞系统文献中可见一斑。由于这些原因，广义系统越来越受到学者的关注。

研究背景及发展现状广义系统又称奇异系统，相对于正常系统来说，其形式更加广泛。它是20世纪70年代形成并发展起来的，RosenbrockH.H教授第一次在国际控制领域的杂志International Journal of Control中提出了广义系统这一概念，并且研究了广义系统的解耦零点和受限等价变换等问题。随后不久，LuenbergerD.G.教授分别在控制领域顶级杂志IEEE和Automatica上对广义系统的解的存在性与唯一性进行了全面而详细的讨论。从此以后，世界各地的控制学者开始了在这个新的研究领域的探索与追求。

自从进入了20世纪80年代以来，很多学者包括研究控制理论的数学家和工程人员对广义系统的研究和设计产生了浓厚的兴趣。自此，广义系统理论的研究进入了一个蓬勃的发展时期。从20世纪80年代初到末，这将近10年来，广义系统的发展取得了比较丰硕的成果。如:提出了广义系统的能控性，能观性对偶原理，观测器的设计等问题。综合上述一系列研究成果，在1989年出版了广义系统理论的第一本著作，标志着广义系统的基础理论己经形成，又将进入下一个全新的发展阶段。

从20世纪90年代初至今，广义系统理论的研究己经一步步从基础走向深奥，从线性系统走到非线性系统，从连续系统走到离散系统，从确定性系统走到不确定性系统，从无时滞系统到时滞系统，逐渐积累了丰富的理论成果，发展成为了现代控制理论中不可分割的一部分。

广义系统的数学表达方式分为以下两种：一种是转移矩阵的表达方式，另一种是状态空间的表达方式。转移矩阵只能描述系统的输入输出特性，而状态空间的表达方式能进一步观察到系统的结构特性。状态空间模型，主要是从状态空间不变理论中得到的，通过变量间的物理关系或一些模型的辨识技巧可以建立出一系列等式。1

研究方法广义系统理论广泛应用在现代控制理论中，有很多学者对其展开研究，到目前为止，主要研究方法有几何方法、多变量频域法和状态空间法几何方法表述简洁明了，简化了数学计算并有效减小误差，但涉及到矩阵范数或非线性优化问题时，几何方法难于发挥其作用；多变量频域法则是用频率域上的计算方法研究广义系统，随着频率域上的许多设计方法不断更新完善，这种方法在控制系统中也越来越发挥着重要作用;状态空间法简洁的描述了问题，能揭示系统的内部结构，并可设计相应的软件用计算机辅助计算，极大简化求解过程，因此该方法广泛应用于广义系统的研究中，其中最具有代表性的是Riccati方法和LMI(线性矩阵不等式)。

广义系统理论不断完善、日趋成熟，其应用己经渗入到航空航天、能源、石油、化工和通讯等诸多领域，这使得这个热门研究课题深受许多青年学者的青睐，随着科技的不断进步，对于控制系统性能的要求越来越严格，广义系统众多性能将会持续的被挖掘。2

与正常系统的联系与区别它们主要的区别可以归结为以下几点：

1)正常系统的动态阶等于系统的维数，而广义系统的动态阶仅仅为q = rank[E]。

2)正常系统的传递函数为真有理分式矩阵，而广义系统的传递函数还包含多项式部分。

3)正常系统的齐次初值问题的解的存在且惟一。但对于广义系统，齐次初值问题是不相容的，即可能不存在解，即使有解，也不一定惟一。

4)广义系统具有层次性，一层为对象的动态特性(由微分或差分方程描述)，另一层为管理特征的静态特性(由代数方程描述)，而正常系统没有静态特性。

5)广义系统的极点，除了有r= deg det(sE-A)个有穷极点外，还有正常系统不具有的(n-r)个无穷极点，在这些无穷极点中又分为动态无穷极点和静态无穷极点。

6)在系统的结构参数扰动下，广义系统通常不再具有结构稳定性。

和正常系统一样，对于广义系统，我们也讨论它的分析问题：即运动行为和结构特性，包括:状态空间描述，能控性，能观性，稳定性以及综合问题：即对于一个受控的广义系统，通过一定的控制手段使其满足预定的目标，包括：反馈控制，状态观测器与动态补偿器等。3

存在的问题现在广义线性系统的研究基本上形成了一个较完整的体系，但还是存在许多问题，这也是研究的目标和方向。

1)正则广义系统的能控能观性已经研究得比较完善。由于非正则系统的复杂性，能控能观的概念多种多样。一方面有必要澄清这些概念的关系，另一方面应该建立更为深刻的概念。

2)正则系统的脉冲模及脉冲消除研究得比较完善，但是现在文献可脉冲消除的很多条件都不是由原始系统矩阵给出的，而且有些给出的条件闭环系统具有最大动态阶。通过原始矩阵给出不附加额外要求的可脉冲消除的判据并提出数值稳定的脉冲消除控制器的设计方法应该是一个很有意义的研究方向。

3)非方系统的脉冲模消除的基于原始系统给出的条件及脉冲模消除控制律的设计方法。
4)设计既消除系统脉冲又最小化初始跳跃的控制律是一个很有意义的研究方向，值得深入研究。

5)广义线性系统的观测器的存在条件和与可检性的关系值得进一步深入研究。
6)广义系统的故障检测研究还很少，可以作为未来的研究方向。输入函数观测器可以作为故障检测的方法。输入函数观测器的概念虽然早在20世纪80年代就提出，但是很长一段内很少人研究。相信对这个问题的深入研究会对广义系统注入新的活力。