[科普中国]-离散时滞系统

基本概念离散系统

早在五十年代，由于数字计算机在工程和科学上应用的增加，离散控制系统的研究己经引起了人们的注意，当时的工作主要是应用z变换研究采样数据系统。近三十年来，离散控制系统的研究已经有了较大的发展。尤其是近几十年来，随着科学技术的高速发展，人类社会进入到信息化，工业技术发生了根本性变革，出现了一大批高新技术领域世界范围的微电子技术革命浪潮，极大地推动了微处理机和微型计算机在控制系统种的应用。由于数字计算机进行计算机时在时间上是离散的，因此当一个系统用数字计算机进行控制或用数字计算机模拟、分析、设计控制系统时，需要把时间变量考虑为离散变量，研究的系统需要考虑为离散系统，由于这些原因，近来离散控制系统的研究再次引起了控制界的特别重视，目前离散控制系统的分析与设计已成为控制理论的一个重要组成部分。

随着微型机的多功能性及可靠性的不断提高，加之其价格的日益下降，应用微型计算机进行控制和管理日益广泛。例如用小型机代替二次仪表对生产过程进行控制时，其不仅可以实现PID控制，还可以实现一些复杂控制。更进一步，还可以应用离散控制系统的理论和方法，设计更高级的反馈系统，以达到诸如最优控制、线性多变量控制、自适应控制等等。又如用微机对一个工厂、一个公司以至一个比较复杂的管理系统管理时，通过建立数学模型，利用离散系统的理论和方法进行分析与设计，可以得到令人满意的管理策略。由于数字计算机处理的只能时离散的数字信号，所以，不论它用于控制或用于管理，如果原来的信号时连续的，都需要将它离散化，转换成离散信号。这就是说，需要通过离散化把原来的连续控制系统转换成一个离散控制系统来处理。因此研究离散系统具有重要的现实意义。

时滞系统众所周知，有许多实际的系统，譬如，通讯系统、电力系统、网络传输系统等，其当前状态都不可避免地受到过去状态的影响，即当前状态的变化率不仅与当前时刻的状态有关，而且也依赖于过去某时刻或某段时间的状态。系统的这种特性称为时滞，具有时滞的系统称为时滞系统。在研究自然界客观事物的运动规律时由于其复杂性和多样性，总是不可避免地存在滞后现象.因此时滞与时滞系统是现实生活与工程技术中普遍遇到的一个实际问题。它起源于18世纪，在20世纪初期，伴随着系统建模的发展而受到了广泛的重视.在上世纪50和60年代就已经建立起了时滞系统的相关概念和基本理论，并被表达为各种不同的数学模型，现在主要采用泛函微分方程模型的形式。

时滞的存在，一方面使得系统的动态性能变差甚至导致系统不稳定。另一方面，在某些控制系统中人们又可以利用时滞改善控制效果，譬如在重复控制系统中以及有限时间稳定性控制等，都需要利用时滞来达到该目的。这样为了更好地利用时滞来解决实际问题以及避免其不利后果，人们很有必要从理论角度分析与了解时滞对动态系统的影响。

鲁棒控制发展概况当控制系统中的某个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，只在离散的时刻有数值，则这样的系统称为离散时间系统。
随着计算机科学、脉冲技术、微处理器及数字元部件的发展，在生物、生态、航空、航天、经济以及工程控制中的大量系统都需要用离散时间系统来描述。当连续时间系统在利用计算机对其进行分析和仿真时，也需将其离散化，然后再进行处理。

离散系统与连续系统的描述上有着本质的不同，但在分析研究方面又有着相似性，在连续时间续系统中的许多概念和研究方法，也可以推广并应用于离散系统中。
时滞是时间滞后的简称，也就是发出指令后，一定时间后系统才‘做出反应。时滞现象广泛存在于各种工业系统之中，如化工生产，机床的操作过程，通信系统中的信号传输过程等。在实际工业系统中，时滞往往会影响系统的正常工作，使系统处于并不稳定的状态，因此对时滞问题的研究有着十分重要的现实意义。

在控制领域及各种工业生产过程中的多数系统，一般都难以建立精确的数学模型，有时即使得到了被控对象精确的数学模型，可是往往都是十分复杂的，利用已有的控制技术条件是难以处理的，因而需要对复杂的系统进行简化处理;随着在生产过程中元器件的磨损与老化，使得被控对象的性能也会发生变化，这就导致了我们所建立的数学模型和实际的被控对象之间存在着一定的偏差和不确定性，再加上现实生活中环境及各种条件的复杂与多样，即存在着很多不确定的因素。因此研究具有不确定性的系统也具有重要的现实意义。

控制系统的鲁棒性是指控制系统在某种类型的扰动作用下，包括自身模型的扰动下，系统某个性能指标保持不变的能力。系统具有良好的鲁棒性是系统正常工作的保障。

分类线性离散时滞系统建立好适当的离散时滞系统后，系统中的时滞可能是是己知的，也可能是定常的或是时变的，事实证明引起系统不稳定及性能变差的主要原因往往是因为时滞的存在。在时滞系统的研究中，我们可以根据需要的不同而对所研究的时滞系统进行分类，根据系统中所含的时滞个数多少来划分，可分为单时滞系统和多时滞系统；根据时滞是否随时间变化而改变来划分，可分为时变时滞系统和是不变时滞系统；根据系统是否为线性系统来划分，可分为线性时一滞系统和非线性时滞系统。在控制器的构造上，主要可以分为有记忆控制和无一记忆控制，现在大多采用无记忆控制器，使得相应的闭环系统达到所期望的性能指标。在系统稳定性的研究中，常用的方法有Riccati方法，Lyapunov方法，特征根方法和矩阵测度(范数)方法等。

随着计仿真技术的迅速发展，从实际的工业问题出发，对离散时间系统控制方法的研究就显得尤为重要，虽然连续系统的一些结论可以平行地推广到离散系统中：但是离散系统自身的结构决定了它还具有与连续系统不同的研究方法。

1995年，杨保民川等研究了不确定离散时间系统的鲁棒状态反馈控制问题，采用对不确定矩阵的秩1分解的方法来计算相应的加权矩阵，应用了Riccati方法来设计鲁棒稳定控制器。1998年，王广雄等先介绍了有关线性矩阵不等式的一些基本概念，然后简要说明了如何运用MATLAB软件中的LMI工具箱去求解一个线性矩阵不等式的方法。1999年，谢文翘等运用Lyapunov方法，研究了一类线性的不确定离散时间系统，给出了相应的鲁棒线性状态反馈控制器的一种设计方法。2001年，颜钢锋等研究了具有时变不确定参数的线性离散时滞系统的鲁棒控制问题，其中不确定参数是满足匹配条件的，给出了这类线性离散不确定时滞系统可鲁棒镇定的充分条件，并得到了相应鲁棒稳定化控制器的一种新方法。2002年，陈东彦等研究了一类线性不确定离散时滞系统的鲁棒控制问题，利用Lyapunov方法，结合矩阵不等式性质，给出了该离散时滞系统对所有满足匹配条件的不确定性，具有鲁棒稳定性的充分条件，并设计系统的鲁棒状态反馈控制器。2003年，许立滨l等利用听apunov方法，研究了线性离散时滞系统的鲁棒稳定性判据问题，构造了一个适当的离散Lyapunov函数，通过借助向量不等式及矩阵范数的有关性质，以矩阵范数的形式给出了所讨论系统的鲁棒稳定性的充分条件，并且该条件是时滞相关的。汤红吉等在2005年利用Lyapunov稳定性理论，研究了一类同时具有状态时滞和输入时滞的离散时间系统的鲁棒控制问题，得出该时滞系统稳定的充分条件，并且该条件是时滞相关的；在2007年，研究了一类具有多胞型的不确定离散时滞系统的鲁棒稳定性问题。

与连续时间系统相对应，离散时间系统的研究也在逐步由单时滞向多时滞扩展。2004年，高会军等研究了具有多面体不确定性的离散多重时滞系统的鲁棒稳定性分析和镇定问题，通过构造新的Lyapunov函数，运用de Oliveir的参数依赖思想，给出了时滞相关的稳定性判据，得到了适用于所给系统的参数依赖型时滞相关的稳定条件。2006年，张文安等研究了具有凸多面体不确定性的离散多时滞系统的鲁棒稳定性问题，通过引入适当的二次型有限和不等式，利用参数依赖型离散Lyapunov泛函，推导出了适用于该系统的时滞相关稳定性条件。2007年，张彦虎等研究了具有多重状态时滞的凸多面体不确定离散时滞系统的鲁棒稳定性分析问题，构造了参数依赖的Lyapunov函数，结合线性矩阵不等式性质，推导出了使该时一滞系统鲁棒稳定的充分条件，应用此条件，通过判定这组线性矩阵不等式的可解性就可以达到判定系统鲁棒稳定性的目的。

非线性离散时滞系统现实生活中的系统大多数是以非线性系统的形式存在的，为了研究的方便，我们将非线性系统进行适当处理，使其近似为线性系统。有时为了改善系统品质，会人为的引入一些非线性特性，对非线性系统的研究将更有利于实际应用。随着数学中非线性分析、非线性泛函，物理学中非线性动力学等学科的发展，非线性系统控制也突破了原有的相平面法、Lyapunov方法以及谐波线性化等方法，基于微分几何的非线性系统理论与Lyapunov稳定性理论、小增益定理以及耗散性或无源行理论相结合，给出了许多系统鲁棒分析和设计的方法。非线性系统理论在近20年中取得了巨大的发展。

2004年，申涛等研究了具有非线性扰动的离散不确定系统的鲁棒稳定性问题，从线性矩阵不等式的形式给出了该类系统的鲁棒稳定性条件。2005年，方建印等利用切换Lyapunov函数方法，把非线性离散开关系统的鲁棒镇定问题转化成一个矩阵不等式的最优解问题，给出了在任意切换下具有非线性扰动的线性开关系统的可鲁棒镇定的充分条件，并进一步讨论了同类时滞开关系统的鲁棒镇定问题，并推广到广义开关系统。2006年，方建印等利用Lyapunov方法研究了一类不确定非线性离散系统的鲁棒镇定问题，给出了可设计系统无一记忆状态反馈控制律的充分条件，并把结果推广到非线性时滞系统。2008年，包萨日娜等研究了具有非线性扰动的离散不确定带有状态时滞和输入时滞系统的鲁棒稳定性问题。1