[科普中国]-非线性时滞系统

基本概念时滞系统

众所周知，有许多实际的系统，譬如，通讯系统、电力系统、网络传输系统等，其当前状态都不可避免地受到过去状态的影响，即当前状态的变化率不仅与当前时刻的状态有关，而且也依赖于过去某时刻或某段时间的状态。系统的这种特性称为时滞，具有时滞的系统称为时滞系统。在研究自然界客观事物的运动规律时由于其复杂性和多样性，总是不可避免地存在滞后现象.因此时滞与时滞系统是现实生活与工程技术中普遍遇到的一个实际问题。它起源于18世纪，在20世纪初期，伴随着系统建模的发展而受到了广泛的重视.在上世纪50和60年代就已经建立起了时滞系统的相关概念和基本理论，并被表达为各种不同的数学模型，现在主要采用泛函微分方程模型的形式。

时滞的存在，一方面使得系统的动态性能变差甚至导致系统不稳定。另一方面，在某些控制系统中人们又可以利用时滞改善控制效果，譬如在重复控制系统中以及有限时间稳定性控制等，都需要利用时滞来达到该目的。这样为了更好地利用时滞来解决实际问题以及避免其不利后果，人们很有必要从理论角度分析与了解时滞对动态系统的影响。

非线性系统所谓非线性系统，指的是系统的状态与输出变量在外部条件的影响下，不能用线性关系来描述的系统。系统受到的这种影响是相对于系统输入的运动特性来说的。由于组成系统的各部件在不同程度上存在非线性的性质，因此在实际生活中，绝对线性的系统是不存在的。为了改善系统的这种非线性性以得到稳定的系统，需要通过设计控制器来研究系统的稳定性，由此产生了相平面法、描述函数法和谐波平衡法等。在过去的几十年里，对于非线性系统的研究，产生的很多新兴的控制理论中，普遍结合了李雅普诺夫稳定性理论，例如以Kokotovic为代表的反推控制理论(Backstepping ) ，以意大利Isidorii教授为代表发展起来的微分几何控制理论，以Swaroop和Hedrick等人为代表基于反推控制理论发展起来的动态面控制设计方法，以Zade和Mamdani教授为代表发展起来的模糊数学和模糊控制理论。迄今为止，李雅普诺夫方法己经成为研究非线性系统最常用也是最为完善的一种方法，通过构造李雅普诺夫泛函、构造系统控制器来研究非线性系统的稳定性也己取得显著成效。

研究背景和意义非线性时滞系统的镇定性分析与跟踪控制理论是系统与控制理论的两个重要的研究方向。因为的实际的系统或多或少的都存在着非线性，所谓的线性系统其实只是一种理想状态，是非线性系统的一种接近。而作为非线性系统更一般的问题是非线性时滞系统.任何实际的问题都多少存在着一些时间延迟的现象，即系统的性能除了与系统当前状态的状态有关，还与系统过去某一段时间或者过去的某一时刻的状态有关。这就是我们所说的时滞现象。实际的工业生产过程和自然社会科学中存在着大量的时滞现象。特别是电力系统、冶金工业过程、机械传输系统、网络控制系统及传染病模型、潜伏期现象、以及城市交通管理系统中。这其中，有些系统中的时滞可能会很小，对系统本身的一些性能特性造成的影响不大，在研究这类问题时，我们就可以忽略时滞现象，仅考虑非线性控制系统。但是有些系统受时滞的影响比较大，而且这时系统不稳定也主要是因为时滞造成的。所以，对于这样的系统，我们就不能忽略时滞现象了。

在实际的工业生产过程及自然社会科学现象中，时滞现象的存在是一个物理系统的固有特性，是不可避免的。主要有两方面会使系统产生时滞现象。第一，由于系统的自身特性所产生的时滞现象，例如通信系统，机械传动系统等都会产生时间滞后现象。第二，由于实际系统的装置所引起的，例如控制器、测量元件、执行器在完成一系列操作时需要一定的时间，因此不可避免的会使系统产生时间延迟现象。时滞现象的存在会对系统产生不可忽略的影响，尤其是会影响系统的镇定性。并且也可能会改变原先设计好的控制器的控制效果。但是，有时候人们也会在某个控制系统中故意引入时间延迟现象以达到某种效果。这样研究如何消除和利用非线性时滞现象就具有很重要的意义和广泛的研究背景和研究意义。

现实中常见的系统基本上都是非线性系统。线性系统只不过是一种理想状态。在以前对这些系统的处理中，人们常常是忽略它的非线性性，直接将其看作是一个线性系统来研究。这时候是对实际控制的精度要求不高，而且控制系统本身也并不复杂。这样也取得了很多优秀的研究成果。但是大量的研究表明，对于复杂的控制系统即使是微小的时滞都可能会使系统的性能改变很大。而且现在科学技术在不断进步，被控对象也变得越来越复杂，于此同时，人们对各种控制系统以及机器的稳定性、精确度的要求也越来越高。如果，还是采用线性化的方法来处理系统，用线性系统的理论来研究其镇定性，去分析和设计控制器，这样就会很难达到预定的控制目标，并且所设计的反馈控制器很有可能根本就保证不了原系统的镇定性。这主要是由于一个非线性系统一般不止是有一个平衡点，很多时候会有几个平衡点，甚至也可能会有无穷多平衡点，而且这些平衡点还可能是孤立的。但是在对系统线性化后，我们就只是研究了其中得一个平衡点，所以这样得到的镇定性就不全面了，而只是局部的。尤其是当所研究的对象是一个复杂的非线性系统时，就更不能保证了。所以仅有对线性系统的研究是不够的，需要对实际的非线性系统的模型入手，直接研究其镇定性和反馈控制器的分析与设计。

现状近几十年来，时滞系统的研究取得了许多成果，推动了时滞系统理论的极大发展。目前，时滞系统的研究方法大致可以分为：时域方法和频域方法。频域方法是早期研究时滞系统稳定性的主要方法，主要是通过研究特征方程根的分布，通过研究特征方程的根是否在右半复平面来判别系统的稳定性，这种方法得到的结果一般是精确的，但是这种方法运算复杂，所以很难用于处理非线性时变时滞系统，因此该方法的使用受到了限制。而时域方法主要是通过应用Lyapunov稳定性理论，通过构造不同的Lyapunov-Krasovski泛函，而且时域方法可以处理非线性时变时滞系统，所以时域法成为目前处理时滞系统稳定性的主要方法.其中L-K泛函方法和L-R稳定性理论是研究非线性时滞系统的重要方法，其中L-R方法所得到的结果一般比L-K泛函方法得到的结果具有更大的保守性，但是L-K泛函得到的只是稳定性的充分条件。另外，还有反馈线性化、步步迭代、极限方法、Hamilton函数方法、描述系统方法以及非线性矩阵不等式等方法。对于一个系统，我们往往需要判断的是这个系统是否是稳定的或渐近稳定的，所以稳定性一般是我们研究各类实际的动态系统时所应该首先要解决的问题。对于一个可控系统，我们需要设计合适的控制器使得原系统是稳定的或渐近稳定的。所以判断所研究的系统是稳定的或渐近稳定的，是一个很有意义的问题。1

分类非线性时滞系统的研究近几年来也正在引起研究者的关注。尽管这不是一个新的问题但是方程中的时滞项带来的相当大的困难使得长期以来这方面的成果很少。我们可以将目前研究的非线性时滞系统分为两类：准非线性时滞系统和纯非线性时滞系统。所谓准非线性时滞系统是指线性时滞系统中含有非线性时滞项，且非线性时滞项一般要求满足Lipschitz条件，或其界是一阶线性函数。纯非线性时滞系统是指一般的非线性时滞系统，即对非线性项的限制较弱或没有限制。

研究方法由于带有时滞的非线性控制系统本身就比较复杂，因此，在研究起来也会比单纯的非线性系统复杂的多，但是由于它具有非常重要的实际意义，所以到目前，己经吸引了国内外许多学者对其进行研究。而且也取得了一些重要的研究成果。如果要对一个具体的控制系统进行研究，分析它的各种性能，那么首先要考虑的同时也是最重要的就是它的稳定性。对于一个控制系统来说，系统的稳定性关系到系统能否正常工作，其次就要考虑它的跟踪控制问题。目前，已经有许多学者对非线性时滞系统的镇定性及跟踪控制问题进行了比较深入的分析和探讨，由于系统的镇定性问题源于稳定性问题，在讨论一个系统的稳定性问题时，如果同时考虑系统的反馈控制器的设计问题时，那么所得到的的稳定性问题就是镇定性问题。下面我们就简要介绍一下非线性时滞系统的稳定性以及跟踪控制问题方面所取得的成果，和所提出的主要研究方法。2

非线性系统的研究方法
研究者们很早就认识到在实际的系统中非线性的特征是大量存在的。在线性系统的理论得到发展的同时研究者们也开始非线性系统了，但是由于科学发展的局限性和非线性系统的复杂性，尽管线性系统已经发展的很完善了，可是非线性系统的理论研究却还需要进一步研究。近年来，由于微分几何的提出与发展，非线性系统的控制理论也取得了实质性的发展。同时微分代数方法也促进了它的发展。在上世纪六七十年代，研究者们主要是通过对线性系统的研究来分析非线性系统。具体地说就是，结合非线性系统的结构特征，直接将线性系统中所提出的一些概念和所得到的一些理论应用到非线性系统中，或是去掉非线性系统的非线性部分，将其转化为线性系统来进行讨论。这样得到了一批优秀的研究成果。但由于许多的非线性系统都比较复杂，因此，仅仅只是利用线性系统中的研究方法是达不到理想的。所以，20世纪80年代后，各种综合分析方法成为研究非线性系统的主流方法，特别是针对比较复杂的非线性控制系统。

非线性系统的经典研究方法，主要有相平面法、Lyapunov稳定性方法、输入输出稳定性方法、线性化近似法、描述函数法、分段线性化近似法、大系统方法等。这些都是在早期所得到的一些方法，主要也是针对特殊的非线性系统。随着科学的发展，研究者们又提出了一些方法来研究非线性系统。主要有具有滑动模态的变结构法、控制Lyapunov函数方法、反馈线性化方法、混沌动力学方法、微分代数方法以及神经网络方法。

近年来，非线性控制问题得到了快速发展。除了上述的研究方法之外，还有一些研究方法也可以很好的解决非线性控制问题。比如基于状态反馈的非线性H∞控制，非线性系统的频域控制方法、以及非线性系统的近似控制方法等。近年来，结构奇异值#方法也开始用于分析与设计非线性系统。

时滞系统稳定性的研究方法
早在上世纪50年代，就有很多学者开始研究时滞系统的稳定性问题和控制问题，其研究方法有频域法和时域法。在早期对时滞系统的稳定性研究方法主要还是频域方法，它的基本思想是分析传递函数特征方程中特征根的分布，同时借助于Lyapunov矩阵函数的解，从而给出时滞系统的稳定性判据和控制器设计的方法和准则。频域方法对于单输入输出的定常时滞系统是比较可行的。但是，对于多输入输出的时滞系统和时变时滞系统，用频域方法就很难得到结论。因此，相应的时域分析方法就应运而生，主要有Lyapunov - Krasovskii泛函方法和Razumikhin函数方法。这是在20世纪50年代末，由Krasovskii和Razumikhin所分别创造的，现已成为分析时滞系统稳定性的一般方法。利用这两种方法，可以分别得到系统的时滞无关稳定性判据和相应的时滞相关稳定性判据。其中，Lyapunov - Krasovskii泛函方法的基本思想是构造一个正定的Lyapunov-Krasovskii泛函，然后对其求导，使其导数小于零，从而得到时滞系统的稳定性判据和控制器设计的基本准则。而Razumikhin函数方法是指先构造一个二次型Lyapunov函数，然后也对其求导，只是在求导时用Razumikhin引理来处理其中的时滞项，同样也可以得到时滞系统的稳定性判据和控制器设计基本准则。在九十年代初及以前，用这两种方法所得到的条件基本上都是时滞无关的，由于时滞无关条件不含时滞信息，因此，对于时滞比较小的系统，这类条件的保守性就比较大了，于是时滞相关条件就得到了发展。在九十年代末至至今的研究成果中基本都是时滞相关的。而且，由于构造Lyapunov泛函和Lyapunov函数的方法不统一，因此所得到的条件也只是一些一般解，并且解法也比较复杂。在20世纪九十年代，随着Riccati方程和MATLAB中LMI(线性矩阵不等式)的发展，可以利用时滞相关或无关条件的解来反过来构造Lyapunov泛函和Lyapunov函数，进而研究时滞系统稳定性问题和控制问题。此后，涌现了一大批优秀的研究成果。