[科普中国]-鲁棒滤波器

研究现状鲁棒滤波

lyapunov稳定性理论是在时间域中研究参数不确定系统的鲁棒分析和综合问题的主要理论基础。在这一框架内主要有两种研究方法，即Riccati方程处理方法和线性矩阵不等式方法。

Riccati方法是早期的一种主要研究方法。它是通过将不确定系统的分析和综合问题转化为一个Riccati型矩阵方程(或矩阵不等式)的可解性问题，进而通过求解Riccati方程来对系统的鲁棒稳定性及鲁棒性能进行分析，或给出鲁棒滤波器。Riccati方程处理方法在80年代和90年代初期被广大学者采用，对鲁棒控制理论的发展起到了很大的促进作用。然而，随着研究问题的日益复杂，越来越多的学者认识到Riccati方法的局限性：

1) Riccati型矩阵方程本身的求解存在一定的问题。目前有很多求解Riccati型矩阵方程的方法，但大多为迭代方法，这些方法的收敛性不能得到保证；

2)在应用Riccati方法进行不确定系统的分析和综合时，往往需要设计者事先确定一些待定参数，这些参数的选择不仅直接影响到结论的好坏，而且还会影响到问题的可解性。

但在现有的Riccati方程处理方法中，还缺乏寻找这些参数最佳值的方法，多数情况下尚需要人为的确定这些参数，无疑给分析和综合结果引入了很大的保守性。

自从20世纪90年代初，线性矩阵不等式逐渐受到控制界的普遍关注，主要得益于求解凸优化问题的内点法的提出。在过去的十多年里，线性矩阵不等式被广泛应用到系统和控制的各个领域中。通过采用线性矩阵不等式技术，系统和控制中的很多问题可以转化为一个线性矩阵不等式(组)的可行解问题，或者转化为一个受线性矩阵不等式(组)约束的凸优化问题。内点法的提出使鲁棒滤波分析和综合中的一些原来无法解决的复杂问题在转化为线性矩阵不等式问题后得以有效的解决。线性矩阵不等式方法可以克服Riccati方程处理方法中存在的许多不足。在线性矩阵不等式框架中研究不确定系统的鲁棒分析和综合问题时，所需要预先选择的参数要明显少于Riccati方法；线性矩阵不等式方法给出了问题解的一个凸约束条件，它一方面可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解，另一方面，当求解这些约束条件时，所得到的可行解不是唯一的，而是一组满足要求的可行解。因而可以对这一组解做进一步优化，这一点在多目标鲁棒分析及综合问题中具有明显的优越性。线性矩阵不等式技术不仅为广大科研工作者所采用，也正逐渐为工程师所接纳。1

随机系统鲁棒滤波由于现代社会很多工程和经济领域中的动态系统可抽象为随机系统模型，这类系统在运行过程中常常受到外部环境和内部结构等随机突变因素的影响。最近，一些学者己经开始对采用不确定模型描述的随机系统，尤其是对随机时滞系统的鲁棒滤波问题展开研究，但对这一方面的研究还不是十分广泛。

基本原理鲁棒滤波器的基本原理是：如果使系统干扰至系统误差的传递函数矩阵的H∞范数最小，则具有有限功率谱的干扰对系统误差的影响将会降到最低程度；或者是将噪声看作能量有限的随机信号，使系统干扰到估计误差的闭环传递函数的H∞范数小于给定的正数。

研究方法近十几年，随着不确定系统理论的发展，不确定系统的鲁棒控制也取得了不同程度的发展。也提出了基于时域的鲁棒滤波问题，将滤波器问题转化为Riccati方程的求解问题。鲁棒滤波是指考虑系统中的不确定性，设计滤波器使得滤波误差系统渐近稳定，并且满足所提出的性能指标。自从鲁棒滤波方法被引入到系统的状态估计中出现了大量的研究成果。如：

(1)鲁棒H∞滤波。假设系统的噪声输入为能量有界信号，滤波器设计的主要依据是使滤波误差系统的传递函数的H∞范数小于给定值；

(2)鲁棒L2-L∞滤波。假设系统的噪声输入为能量有界信号，与H∞滤波的不同之处在于滤波器设计的主要依据是使滤波误差系统具有一定的L2-L∞衰减水平，又称为能量一峰值滤波；

(3)鲁棒L1滤波。假定系统的噪声输入为峰值有界的信号，滤波器设计的主要依据是使相对于所有峰值有界的噪声输入信号，最劣情况下的滤波误差信号的峰值小于给定值，又称为峰值一峰值滤波。2

具体构成在的动态系统中，设系统噪声与观测噪声为有限的能量信号，即：

则鲁棒滤波就是设计一个滤波器，对于给定的正数γ，有：

上式满足的充要条件是存在正定矩阵并满足黎卡提(Riccati)方程，当γ趋于∞时，此时的鲁棒滤波器就退化为卡尔曼滤波器。在实践中，适当选择γ值的大小，可使滤波误差方差小并对不确定噪声具有很好的鲁棒性。3

优点在很多的工业应用中，系统中含有不确定参数，精确的系统模型是很难获得的。因此，研究在模型存在不确定性下的滤波算法具有重要的理论意义，为了克服这个困难，鲁棒滤波方法被引入，这个方法是考虑系统中的不确定性，设计滤波器使得滤波误差系统渐近稳定，并且满足所提的性能指标。鲁棒滤波方法有如下优点：
(1)对系统的不确定性具有较强的鲁棒性。
(2)与传统的滤波方法相比较，鲁棒滤波无需了解噪声的特性。