[科普中国]-鲁棒预测控制器

简介

模型预测控制(MPC)的控制思想可以追溯到上世纪60年代末，模型预测控制以其特有的滚动时域控制策略，使其在处理控制量和状态量约束的不确定性问题上显示出了巨大的优越力，并在理论界不断出现新研究成果，及在很多工业领域也得到了广泛应用。然而约束的存在必然给开环和闭环控制系统都带来不确定性，约束条件处理与性能指标优化的有机结合是模型预测控制方法的核心和精髓所在。近年来，考虑模型参数不确定性或改善建模动态品质的鲁棒模型预测控制的研究，就是一种比较先进的预测控制算法。其控制算法的思想，就是在保证系统稳定性的前提下，对系统控制性能、在线计算量以及可行域的大小等实际控制中的问题进行研究，并保持系统的动态性能品质。

关于鲁棒模型预测控制，许多学者都提出了不同RMPC算法，并在理论和工业实践中取得了良好的效果。本章重点介绍时滞不确定系统的鲁棒预测控制器。
针对输入具有大时滞的不确定系统，因此鲁棒模型预测控制器设计的首要任务，就是要处理参数、对象结构等延时带来的影响，人们借鉴鲁棒控制的研究方法，对具有结构不确定性和外部扰动的预测控制进行了较为广泛的研究。姜偕富等针对带有输入时滞的不确定线性时滞系统，基于适当形式的Lyapunov泛函，利用线性矩阵不等式方法讨论了时滞相关型鲁棒从状态反馈控制器设计问题，其中不确定性是时变未知的，满足范数有界条件，其控制器存在的充分条件由线性矩阵不等式的形式给出。有一篇运用状态反馈研究了控制饱和时滞系统凡相关控制和稳定性问题。

针对有扰动线性的不确定系统，其鲁棒预测控制器的设计，首先需要处理扰动对系统的影响。针对这个问题，Scokaert利用约束系统的双模控制的思想，及充分考虑所有对系统状态产生影响的扰动序列的同时，设计了鲁棒控制器。为了减小鲁棒预测控制器的在线计算量和扩大初始可行域的范围，可以利用扰动不变集的原理，来处理扰动，进而设计预测控制器是鲁棒预测控制研究中一类比较独特的方法。1996年，Kothare等分别提出了一种基于LMI的鲁棒MPC综合方法。该算法对所考虑的不确定系统，从Min-Max原理出发，通过对优化无穷时域线性二次性能指标进行转化，设计线性反馈控制律使在不变集中，任一系统性能指标单调下降，并对反馈控制律设计统一的Lyapunov函数，得到无穷时域指标的上界。这一设计思想被理论研究界广泛借鉴。Angelii等针对有扰动的不确定系统，离线设计了一系列椭圆集，这些椭圆集的特点是在容许控制和干扰条件下，系统的状态可以随时间的推移向内收敛，在线计算时只做一步预测，使系统状态沿椭圆集合向内收敛，当系统状态进入控制不变集后则采用状态反馈，使闭环系统稳定。在预测控制器设计中可将部分在线计算量转移由离线设计完成，从而有效降低在线计算量，高效鲁棒预测控ERPC (efficient robust predictive control)。其中ERPC具有在线计算量小，控制性能好的特点。在考虑扰动不变集的基础上，对原ERPC设计进行改进，通过离散设计两个椭圆不变集，在线进行凸组合的方法，在保持原有ERPC在线计算较小的优点同时，是控制器具有较大的初始可行域和良好的控制性能。

对于多胞不确定和反馈结构不确定的结构性摄动，也是学者们根据工业过程的对象的特征，所总结的新的控制系统。其中采用多胞模型来研究受扰系统是鲁棒预测控制一种常见的研究方法，LMI成为这类研究的主要工具。在鲁棒预测控制的研究中，更为普遍的控制器设计是基于多胞模型描述的不确定系统。与扰动椭圆集模型相比，多胞不变集模型具有更大的灵活性，更能使系统获得最大的渐进稳定性。在一定条件下，其中Time invariant system and nonline system等都可以转化为多胞不确定性系统进行研究。

如何有效地设计在线计算量小，控制性能较好且可行域较大的鲁棒预测控制器，一直是近年来预测控制研究的难点和热点。2

控制方案鲁棒预测控制算法，具有两个基本特征：其一是力求获得尽可能大的可容许(即满足约束条件)并可鲁棒镇定的吸引域。其二是在闭环稳定且满足约束的前提下使不确定系统在某种意义下的性能指标达到最优。一般是尽量使得标称系统的性能接近最优，或使系统在最不利情况下性能指标的一个上界达到最小。

线性状态反馈鲁棒预测控制
这种算法根据采样时刻的状态反馈求解线性控制律，并作用到系统中，使系统满足输入约束和状态约束，并使目标函数在无限时域内单调递减，保证稳定性，这样就可以把在线优化问题用线性矩阵不等式(LMI)方法进行计算。如果在初始采样时刻的在线优化问题可以用LMI求解，那么在以后的采样时刻进行滚动优化都可以用LMI求解，保证了系统的稳定性。但是这种方法要求状态完全可测，在某些实际的生产过程中无法满足该要求，限制了该控制方案的使用。

min-max鲁棒预测控制
P. J. Campo和M. Morari在鲁棒预测算法中加入了min-max优化算法，将问题变为了求滚动优化中min-max问题，使具有不确定性的系统能够在求得的控制量的作用下，性能指标最小。当系统存在状态约束的时，每一采样时刻都会有联系，前一时刻的输入必然影响未来各时刻输入的约束，为了避免这种现状，引入了输入反馈，把开环问题变为了闭环问题，把预测输入作为反馈参与滚动优化中。但是为了确保滚动优化过程的鲁棒性，以及引入反馈后的闭环问题的稳定性，在min-max鲁棒预测控制算法中经常是以状态变量的2范数定义的不变集。

输出反馈鲁棒预测控制
前面所介绍的两种算法己经有大量的研究和相关的文献，而和输出反馈相结合的鲁棒预测算法的相关研究和文献并不多。该算法要解决的问题是在状态不完全可测的情况下，如何取得良好的控制效果，目前研究方法有两种：其中一类是比较经典的通过构造状态观测器来解决状态不完全可测的情况，比如M. V. Kotharet等在文献中利用了该思路，设计了输出反馈鲁棒预测控制器，具体先通过状态反馈鲁棒预测算法先来初步求出系统的控制律，再通过实时的输入和输出构造状态观测器，而在实际中不可测的状态由状态观测器观测值来替换，从而得到输出反馈鲁棒预测控制器。第二类是不建立状态观测器，直接通过采样时刻实时输出值来设计输出反馈控制器。本文就采用了第二种思路，先通过状态反馈，初步设计了鲁棒控制器，但在发酵过程的控制中不构造观测器，直接通过采样时刻的实时输出值，从而设计出最终的控制器。

离线鲁棒预测控制算法
在整个控制时域内取许多个采样时刻，离线求解该时刻的优化问题，依据实时测量的系统状态与计算的理想最优状态之间的差别，用插值法在线计算状态反馈控制律。甚至有的文献更进一步，打破了传统控制律的形式，降低了离线计算方法的保守性。

引入比较模型的优化问题
当带约束系统具有时变性和扰动性时，通过而二次规划算法设计鲁棒预测控制器。首先利用lyapunov函数设计不含无扰动系统的控制器，通过建立一个比较模型，该模型把具有扰动性的系统变为不含扰动的系统模型，并由此提出终端约束条件，确保了系统的是可行的以及其稳定性。

改变在线优化问题的传统结构
对于具有扰动性的系统时，将预测状态和预测输入的扰动部分作为增广状态，文中基于椭球不变集，确保增广状态变量的收敛性，同时还满足约束条件。这样就使在线优化问题的目标函数为范数形式，而其约束条件为采样时刻的增广状态属于椭球不变集。它的优点是在线计算量很少，容易应用在实际的过程控制中，但如果系统具有不确定性，该方法还有待进一步研究。3

稳定性分析预测控制的鲁棒稳定性分析是指对于设计的预测控制器，采用前一时刻预测值的偏差来进行近似校正未来预测输出量，使预测控制器的可行性和鲁棒性在各种更加时效的在线优化方法下，得到实际控制系统的理想控制方案。

稳定性是衡量控制器可行的重要标准，但准确对预测控制器稳定性分析的文献并不多见。根据在线优化策略的特点，预测控制稳定性证明大多采用附加了各种约束的Laypunov方法得到。一般保证预测控制稳定性的方法大体有：终端等式约束集，终端约束集，终端加权函数，收缩约束。这些方法的思想就是通过修改预测控制的性能指标或在控制器中加入认为的约束，来保证所设计的控制器的渐近稳定性。针对不同模型的不确定性系统，许多学者利用不同的控制策略方法，来克服控制器设计的保守性，Kothare使用现行矩阵不等式来设计鲁棒约束预测控制器，Wan和Pluymer等通过离线设计若干相互包含的椭圆不变集，并在线组合，进而降低了控制器的在线计算量。Kouvaritakis等在固定反馈控制集得基础上增加了补偿控制量，提出了高效鲁棒控制(Efficient robust predictive control,ERPC)并离线设计求的增广系统的最小椭圆不变集，在线优化计算求得满足不变集的最小附加补偿控制量。针对椭圆集设计的保守性，Lee等提出了多面体不变集的设计方法，其也是采用Lyapunov方法得到稳定性保证，以获得更好的控制器性能为目的。