[科普中国]-非线性离散系统

非线性系统概述

随着科学技术的不断发展，人们对实际生产过程的分析要求日益精密，各种较为精确的分析和科学实验的结果表明，任何一个实际的系统都是非线性的。所谓线性只是对非线性的一种简化或近似，或者说是非线性的一种特例。虽然许多物理关系常以线性方程表示，但是在大多数情况下，实际的关系并非真正线性的。对物理系统仔细研究后会发现，即使对所谓的线性系统来说，也只是一定工作范围内保持真正的线性关系。实际上，许多电机械系统、液压系统和气动系统等在变量之间都包含着非线性关系。严格来说，非线性系统才是最一般的系统。而线性系统只是其中的特殊情况。因而研究非线性系统更能发掘自然界的本质。

近年来非线性科学越来越受到人们的重视，数学中的非线性分析、非线性泛函，物理学中的非线性动力学等，发展得都很迅速。与此同时，非线性理论得到了蓬勃发展。与20年前相比，现在有更多的控制学家转入非线性系统的研究，更多的工程师力图用非线性理论设计与控制实际工程系统。这一方面是由于理论的发展，特别是非线性系统几何理论的诞生，为实际应用提供了可能性；另一方面，则来自实践的需要，特别是航空、航天等高新技术对精度要求越来越高，使传统的近似方法无法满足。

事实上，非线性控制系统的发展几乎是与线性系统平行的，但非线性系统的理论远不及线性系统的理论完善。这主要是由于非线性系统本身所包含的现象十分丰富，迄今为止对它的了解还不够。例如，线性系统的稳定性只有稳定，渐近稳定和不稳定：而非线性系统解的性态要复杂的多，系统的稳定性除了稳定，渐近稳定，不稳定外，它还可能有极限环(稳定极限环和不稳定极限环)以及混沌和分叉等，但对非线性系统合适的数学工具却远远不够。

非线性控制理论的突破性进展发端于20世纪70年代初期。随着微分几何理论和微分代数方法的引入，使得非线性系统控制理论及其应用有了一个巨大飞跃。

特点及优点先来介绍非线性系统的主要特点：

(l)稳定性

线性系统的稳定性只是取决于系统的结构和参数，而与外作用和初始条件无关。对于非线性系统，则不存在整个系统是否稳定的笼统概念，必须针对系统的某一具体的运动状态，才能讨论其是否稳定的问题。非线性系统可能存在多个平衡状态，其中某些平衡状态是稳定的，而另一些是不稳定的。初始条件不同，系统的运动可能趋于不同的平衡状态，运动的稳定性就不同。所以说非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，还与运动的初始条件、输入信号有直接关系。

(2)时间响应

线性系统的时间响应与输入信号的大小及初始条件无关。对于线性系统，输入信号的大小只能影响响应曲线的幅值，不会改变响应曲线的形状。而对于非线性系统而言，它的时间响应与输入信号的大小与初始条件有关。

(3)自激振荡

线性定常系统只有在临界稳定的情况下，才能产生周期运动，而非线性系统在没有外界周期变化信号的作用下，系统就能产生具有固定振幅和频率的稳定周期运动，我们称之为自激振荡，简称自振，其振幅和频率是由系统本身的特性所决定。

(4)对正弦输入信号的响应

线性系统当输入某一恒定幅值和不同频率的正弦信号时，稳态输出的幅值是频率的单值连续函数。而非线性系统输出的幅值与频率的关系可能会发生跳跃谐振和多值响应。

(5)非线性系统的畸变现象

线性系统在正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号；非线性系统在正弦信号作用下的稳态输出不是正弦信号，而是包含有倍频和分频等各种谐波分量，使波形发生非线性畸变。

相对于线性控制，非线性控制具有以下优点：

1)改善控制性能

当系统运行于小范围内，基于线性模型假设的线性控制方法是有效的。但当系统运行于大范围时，系统的非线性特性无法利用线性控制器进行补偿，控制性能必然低下甚至系统不稳定。而非线性控制器可以直接对系统大范围运行的非线性问题进行处理。

2)分析强非线性

所谓的强非线性包括饱和、死区、嗟合间隙和磁滞等，在控制工程中经常碰到。这些非线性的作用不能由线性方法控制，而必须发展非线性分析技术。

3)处理模型不确定性

在设计线性控制器时，通常需要假设系统模型参数是已知的。但是，许多控制问题含有非线性的模型参数。这可能是由于参数随时间缓慢变化，如水下机器人航行时水的压力，或者是由于参数的突然变化而产生的基于不精确或失效的模型参数值的线性控制器表现出明显的特性恶化，甚至产生不稳定现象。对此种情况，为了应对这种系统模型的不确定性，可在系统控制器中有意引入非线性。鲁棒控制器和自适应控制器便是这样的非线性控制器。

4)简化控制系统设计

由于设计非线性控制器时经常基于被控对象的物理特性，好的非线性控制设计在有些情况下可能要比线性控制设计更简单更直观。例如，在某个垂直平面内的单摆，该单摆从某个任意初始角度开始摆动，并逐渐衰弱，最后停在垂线的位置。虽然单摆的特性可能在接近平衡点时可通过对系统的线性化进行分析，但是其稳定性实际上与某些线性化系统矩阵的特征值关系很小。此例是基于下述事实:该系统的全部机械能逐渐被各种摩擦力所消耗，因此，单摆在某个最小能量位置趋于停止。

最优控制与线性定常系统的最优控制的综合理论和方法已非常成熟形成鲜明对比的是，对非线性系统而言，虽然人们也对其进行了广泛的研究，然而用经典最优控制理论解决系统的综合问题获得的结果具有很大的局限性，对这一问题的解决仍然是相当困难的。非线性系统的非线性主要来源于系统本身的不完善性和系统的固有特性。这二者在实际系统中都是不可避免的。因此对非线性系统的次优控制这一课题的研究不但具有重要的理论价值，而且具有重要的实用价值。

这十年来，众多学者对这一课题进行了研究。然而，在众多的研究成果中多数是研究一些特殊情况下的特定结果，或是给出了一些描述性的结果。其中Hager给出了基于乘法器的非线性系统最优控制方法。Teo等研究了具有不等式约束的非线性系统最优控制问题。Alt讨论了带约束的非线性最优控制系统的稳定性问题。Sokhin研究了用波动方程描述的非线性系统的最优控制问题。De Figueired等研究在扰动作用下非线性系统的最优控制。BeCerra等研究了非线性离散系统的最优控制问题，给出了最优参数的估计式。SotjnaoviC研究了椭圆型非线性系统的最优衰减控制问题。以上所提出的最优控制方法和方案，基本上限于理论研究方面。对具体的非线性系统，实现最优控制是非常困难的。近年来，人们提出了若干新方法。如Hirasawa等应用人工神经网络的学习功能，提出了PLN模型，并研究了其在非线性系统的控制问题中的应用。但由于人工神经网络在线学习的实时性难以保证良好的控制指标。为了便于工程实施，人们常不一味追求系统的最优性能指标。因此，提出了若干次优控制方法。Ngaurka等给出了基于Fourier级数的非线性系统的最优控制方案。这一方法对求系统的次优控制比较方便。Newman等研究了二阶非线性系统的次优控制并进行了鲁棒性分析。席裕庚等用预测控制方法研究了非线性系统的次优性，通过分析预测控制的有限时域滚动优化性质，得到了预测控制次优性的上界。1

离散系统早在五十年代，由于数字计算机在工程和科学上应用的增加，离散控制系统的研究己经引起了人们的注意，当时的工作主要是应用z变换研究采样数据系统。近三十年来，离散控制系统的研究已经有了较大的发展。尤其是近几十年来，随着科学技术的高速发展，人类社会进入到信息化，工业技术发生了根本性变革，出现了一大批高新技术领域世界范围的微电子技术革命浪潮，极大地推动了微处理机和微型计算机在控制系统种的应用。由于数字计算机进行计算机时在时间上是离散的，因此当一个系统用数字计算机进行控制或用数字计算机模拟、分析、设计控制系统时，需要把时间变量考虑为离散变量，研究的系统需要考虑为离散系统，由于这些原因，近来离散控制系统的研究再次引起了控制界的特别重视，目前离散控制系统的分析与设计已成为控制理论的一个重要组成部分。

随着微型机的多功能性及可靠性的不断提高，加之其价格的日益下降，应用微型计算机进行控制和管理日益广泛。例如用小型机代替二次仪表对生产过程进行控制时，其不仅可以实现PID控制，还可以实现一些复杂控制。更进一步，还可以应用离散控制系统的理论和方法，设计更高级的反馈系统，以达到诸如最优控制、线性多变量控制、自适应控制等等。又如用微机对一个工厂、一个公司以至一个比较复杂的管理系统管理时，通过建立数学模型，利用离散系统的理论和方法进行分析与设计，可以得到令人满意的管理策略。由于数字计算机处理的只能时离散的数字信号，所以，不论它用于控制或用于管理，如果原来的信号时连续的，都需要将它离散化，转换成离散信号。这就是说，需要通过离散化把原来的连续控制系统转换成一个离散控制系统来处理。因此研究离散系统具有重要的现实意义。

控制方法鉴于很多科学和工程领域对于非线性控制方法的研究和应用涌现出了极大的需求，以及计算机的广泛使用使得离散非线性系统的控制方法研究成为必然。离散系统的研究方法一般通过Z变换建立其数学模型，然后对此模型进行研究和设计，或者对连续系统数学模型进行离散化，并将对连续系统的分析与设计方法推广到相应的离散系统上来常见的离散控制方法有离散滑模控制方法、离散神经网络自适应控制方法、离散反步法、预测控制等。例如，针对一类三角结构的多输入-多输出离散非线性系统进行研究，提出了基于反步法的自适应神经网络控制算法；应用多层神经网络研究离散非线性系统的保性能控制问题；并在其基础上进一步讨论了带有输入约束的离散非线性系统控制问题；基于反步法和神经网络自适应控制方法分别设计了一种适用于严格反馈形式的离散非线性系统和飞行器的控制器；应用神经网络预测控制方法研究了一类纯反馈离散非线性系统的控制问题；针对多输入多输出的离散非线性系统设计了一种神经网络自适应控制器；针对不确定离散系统，提出一种新型的离散趋近律，构造理想切换动态，改善了控制品质。把离散非仿射系统分解成一个线性部分和一个非线性部分，非线性部分用神经网络自适应进行控制；讨论了神经网络自适应问题但是要求未知离散系统在操作点必须是可量测的。预测控制方法是一种基于离散模型提出的控制算法，预测控制的提出和应用使得离散非系统的研究再次引起了控制理论界的特别重视。由于离散非线性系统本身的复杂性，这方面还有一系列的问题有待研究，仍有大量的研究工作要做。2