[科普中国]-H∞最优控制

H∞控制方法始于1981年，Zame把SISO线性反馈系统的灵敏度问题看作是H∞最小范数问题，并涉及了古典控制理论的一些基本问题，立即引起了人们的极大注意。后来，H∞范数延伸到更为一般的问题，特别是在考虑鲁棒性问题时，它比其它方法更为直接。H∞控制的表示很简单，但求解过程却十分复杂。目前主要有频域法、多项式法、状态空间法。

H∞最优控制，简而言之，就是用H∞范数作为日标函数的度量边行优化设计。H∞范数是定义在Hardy空间 上的范数，在H∞控制理论中是指在S右半平面上解析的有理函数阵的最大奇异值。在标量函数中就是幅频特性的极大值。因此，如果使系统干扰至误差的传递函数的H∞范数最小的话，那么，具有有限功率谱的干扰对系统误差的影响将会降到最低限度。这就是H∞最优控制的基本思想.

跟踪问题、模型匹配问题，鲁棒稳定问题、加权混合灵敏度问题等各种控制问题都可以化为如图1所示的H∞标准问题1。

其中：

G、k分别表示广义受控对象和控制器；

W: l维外部输入信号；

z: ρ维受控输出；

u: n维控制信号；

y: m维量测输出。

按w、z、u、y 的维数将G(s)分块为：

有

H∞控制的标准问题是：

求一真实有理的K，使G稳定，并使由W到Z的传递函数矩阵：

的范数最小，即

或者：求所有真实有理的K，使G稳定，且使

前者称为H∞最优控制问题，后者称为H∞次优控制问题。

具有非结构性加法摄动系统的鲁棒稳定性问题可以归结为H∞次优化问题。这首先是由木村提出的, 考虑如图所示系统：

假设不确定性摄动△P满足不等式

其中，R为已知有理函数阵。根据小增益理论系统稳定的充分条件是

故对于满足△P不等式的所有摄动系统鲁棒稳定的充分条件是

可以证明上式也是系统内部稳定的必要条件，鲁棒控制器的设计就归结为求满足上式的H∞次优控制器。

在研究具有结构性时变摄动系统的稳定性时，一般采用二次稳定性定义。设系统描述如下

其中，r(t) 表示时变摄动。所谓二次稳分是僧存在李亚谱诺夫函数及α>0

使得下式成立。

假设系统可以表示为

上式范数定义为最大奇异值，Pctcrson等给出了该系统二次稳定的充要条件：

（1）A为稳定阵

（2）

因此，如果我们采用状态反馈u=-Kx则由上述结果可知，使系统二次稳定的鲁棒控制器K必须满足以下两个条件：

（1）A-BK稳定

（2）

故二次稳定问题就归结为求满足上式的H∞次优控制器2。