[科普中国]-Nadolschi混沌系统

1944年，Nadolschi研究刚体运动时引入一个混沌系统其特点是方程右端含有3个非线性项，该系统称为Nadolschi混沌系统。混沌系统是指在一个确定性系统中，存在着貌似随机的不规则运动，其行为表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。

一类混沌系统(1)：

当参数取值为a=5，b=-10，c=-3.8，初值 =(-12，5，-4)时，该系统存在图1所示的奇怪吸引子，即为混沌系统，通常被称为Nadolschi混沌系统。

将式（2）作为响应系统，取式（1）为驱动系统，设计一个稳定的控制器使上述系统实现自相似结构渐近同步。式（2）为：

其中参数取为a=5，b=-10，C=-3.8，初值取为 =(-7，8，-11)。

在混沌同步中，用到的反馈方法主要有参数反馈和状态变量反馈两种。参数反馈是指利用反馈的误差信号去调整系统的参数，使两个混沌系统实现同步化。状态变量反馈指的是反馈的信号直接加到响应系统的状态变量上去，不改变系统的参数。状态变量反馈可以有多种形式，可以是线性的，也可以是非线性的。这里，采用线性状态变量反馈方法设计同步控制器1。

引入状态反馈控制的响应系统可以表示为式（3）：

由驱动系统和响应系统构成的误差系统可以表示为式（4）：

显然，误差系统的原点(e1=e2=e3=0)是该系统的平衡点，因此，可以选取合适的k1，k2和k3的值，使误差系统在零平衡点处渐近稳定，即混沌系统达到自相似结构同步。

对于式（4）所示的误差系统，当下列条件满足时，误差系统是渐近稳定的，即驱动系统和响应系统达到渐近同步：

利用T-S模糊模型可以对Nadolschi混沌系统进行建模，并设计一个稳定的控制器使上述系统渐近稳定在零不动点上2。

首先提出三点假设：

（1）由于混沌系统的有界性，可以定义系统状态轨迹的研究范围为：

（2）混沌系统用T-S模糊模型表示时，其规则的前件变量独立于模型的控制输入。

（3）可以对混沌系统的每一个状态施加反馈控制，用T-S模糊模型表示时，体现为可以用PDC方法进行有效控制。

在以上3条假设成立的前提下，当参数已知时，可以利用T-S模型表示Nadolschi混沌系统。Nadolschi混沌系统可以用包含以下4条规则的模糊模型表示：

其中

模糊集合Fi(i=1，2，3，4)的隶属度函数分别为