[科普中国]-区间计算

区间计算与传统的以数为对象的运算(即点计算)不同，它的运算对象是区间。虽然区间计算思想的出现可以追溯到上个世纪30年代，但通常认为R. E. Moore (1966)发表的著作标志了区间计算的正式诞生。经过半个多世纪的发展，人们发现区间计算在控制计算误差和处理不确定性等方而具有许多特殊的优点。作为一种新的计算方法，区间计算在许多领域中得到了成功的应用。2007年1月，美国数学会把2007年度罗宾逊奖(Robbins Prize)授予了美国数学家Thomas C. Hales和Samuel Ferguson，表彰他们应用区间计算解决了著名的开普勒猜想。由此可见，区间计算的价值和意义得到了愈来愈多学者的认同。

区间计算最早应用于计算误差控制领域。由于数字计算机只能使用有限位数表示实数，不能精确表达数学意义上的数值，所以数值的每一步计算都会产生误差。亿万次计算之后，计算机的“舍入规则”效应可能累积相当大的计算误差，导致数值计算结果精度严重损失。而区间计算的整个过程以“区间”为运算对象，提供区间形式的计算结果。这些运算区间在构造上保证包含数据的真实值，使得结果区间也能够保证包含数据运算的真实结果。Karl Nickel (1971)首先将区间计算应用于方程组求解的牛顿方法。他结合两分法，利用区间计算软件包INTBIS，实现了对求解方程组整个迭代计算过程的误差控制大大提高了解的计算精度。1

在实际应用中，区间计算的实现需要有相应的数学定义、规范和高效的区间计算专用软件包来支持。近年来，科学工作者们初步建立了有关的软件协议并开发和完善了区间计算软件包。这保证了区间计算应用于计量经济分析在技术上的可行性。如何使用区间计算对区间样本进行参数估计，Hu & He (2007)提出了一种算法，开发出了相应的软件包其主要步骤如图:

估计过程以针对“点样本”进行估计的普通最小二乘原理(OLS)为基础，在区间计算的法则约束下，衍生出针对区间样本的“区间最小二乘” (ILS)估计方法。OLS下，为了得到方程中的未知参数，需要如图计算步骤:

在ILS下，图中OLS的过程依然适用。

将区间计算应用于两方程误差校正模型(Error Correcrion Model, ECM)，简称区间ECM模型(MCM模型)。

(3)

(4)

在点计算方法下，建立ECM模型，首先需要利用方程3检验变量Yt和\是否具有协整关系，当协整关系存在时才可以建立方程4。对于实际经济变量，存在协整关系的条件往往限制了ECM模型的更广泛使用。

将区间计算试用于上述两方程误差校正模型。由于没有针对ILS本身建模的理论的约束，可以直接将区间数据和区间计算应用于方程(3)和方程(4)。

假设样本时序长度为n,每一个滚动的时序区间为，步骤如下:

1、首先对方程(3)应用ILS

2、对于每一个时序区间分别建立各自的长期方程 (3)

3、针对这n- +1个拟合方程，应用区间运算法则分别计算各自对应时序区间内的区间残差序列，共得到n- +1组容量为的残差序列;计算变量的区间一阶差分d和d.

4、分别建立上述n-+1个方程对应时序区间内的ECM并进行ILS。实际上，由于取了一阶差分，使得方程缩减到n- 个

5、n-个ECM的样本外第一个预测区间分别是对~的预测结果。将它们分别和~相加，得到~的预测区间。

一阶差分在此具有特殊的经济含义，表示变量在从t时刻到t+1时刻变动的区间。这一含义比点算法下的一阶差分含义要更加丰富。1