[科普中国]-高斯-若尔当消元法-

简介

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组1。

Gauss-Jordan消元法在很多地方都会用到，例如求一个矩阵的逆矩阵、解线性方程组，等等。它的速度不是最快的，但是它非常稳定，同时它的求解过程也比较清晰明了，因而人们使用较多。相对于高斯消元法，Gauss-Jordan消元法最后的得到线性方程组更容易求解，它得到的是简化行列式。其转化后的增高矩阵形式如图1所示，因此它可以直接求出方程的解，而无需使用替换算法。但是，此算法的效率较低。

G-J消元法的初等变换方法G-J 消元法通过这样的方法来进行初等变换：在每一个循环过程中，先寻找到主元，并将主元通过行变换（无需列变换）移动到矩阵的主对角线上，然后将主元所在的行内的所有元素除以主元，使得主元化为 1；然后观察主元所在的列上的其他元素，将它们所在的行减去主元所在的行乘以一定的倍数，使得主元所在的列内、除主元外的其他元素化为 0，这样就使得主元所在的列化为了单位矩阵的形式。这就是一个循环内做的工作。然后，在第二轮循环的过程中，不考虑上一轮计算过程中主元所在的行和列内的元素，在剩下的矩阵范围内寻找主元，然后（如果其不在主对角线上的话）将其移动到主对角线上，并再次进行列的处理，将列化为单位矩阵的形式。余下的步骤依此类推。具体的计算过程的一个例子，请看下面求逆矩阵的过程的例子。

Gauss-Jordan 法的求解方程组的过程引例假设有如下的方程组：

写成矩阵形式就是： AX=B ，其中：

且，现对矩阵 A 作初等变换，同时矩阵 B 也作同样的初等变换，则当 A 化为单位矩阵的时候，有：

显而易见，我们得到了方程组的解：。

所以，我们要以一定的策略，对 A 和 B 施以一系列的初等变换，当 A 化为单位矩阵的时候，B 就为方程组的解。

求解过程如果要解系数矩阵相同、右端向量不同的 N 个方程组，在设计程序的时候，没有必要 ”解 N次方程组 “，我们完全可以在程序中，将所有的右端向量以矩阵的数据结构（类似于二维数组）来表示，在系数矩阵作行变换的时候，矩阵里的每一个右端向量也做同样的变换，这样，我们在一次求解运算的过程中，实际上就是同时在解 N 个方程组了。

用G-J消元法求逆原理假设 AX=E ，其中， A 为 n 阶系数矩阵（与上面的解线性方程组对照）；E 为单位矩阵，即，其中为单位列向量； X 为 n 个列向量构成的矩阵，即，其中为列向量。于是，可以把等式 AX=E 看成是求解 n 个线性方程组，求出了所有的之后，也即得到了矩阵 X。而由 AX=E 可知，矩阵 X 是 A 的逆矩阵，即。这样，就求出了 A 的逆矩阵了。于是，求逆矩阵的过程被化成了解线性方程组的过程，因此我们可以用 Gauss-Jordan 消元法来求逆矩阵。求逆矩阵时，系数矩阵 A 和单位矩阵 E 可以共用一块存储区，在每一次约化过程中，系数矩阵逐渐被其逆矩阵替代。