[科普中国]-线性表出

定义

若干个同维数的行向量(或同维数的列向量)所组成的集合叫做向量组。

对n维向量 和 ，如果存在实数 ，使得

称向量 是向量 的线性组合，或者说向量 可由线性表出(示)。

设有两个n维向量组 ；如果 中每个向量 都可由 中的向量线性表出，则称向量组 可由向量组线性表出。

如果 、 这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。

注：(1)等价向量组具有传逆性、对称性、反身性；

(2)向量组和它的极大线性无关组是等价向量组；

(3)向量组的任意两个极大线性无关组是等价向量组；

(4)等价的向量组有相同的秩。但秩相等的向量组不一定等价。2

例题解析例1 已知 ,试问当a，b取何值时 可以由 线性表示，并写出其表达式。

解： 设 ，按分量写出，即有

对增广矩阵 作初等行变换，有

如果b≠4，方程组无解， 不能由 线性表出。

如果b=4，秩 方程组有解， 可由 线性表出。

（1）当 时，

方程组有唯一解： ,即。

（2）当 时，

方程组有无穷多解： ,即，t为任意实数。3

例2 设有向量组(1)： ；

(2)： 。

试问：当a为何值时，向量组(1)与(2)等价？当a为何值时，向量组(1)与(2)不等价？

分析: 所谓向量组(1)与(2)等价，即向量组(1)与(2)可以互相线性表出，如果方程组

有解，则 可以由 线性表出。

那么，如果对同一个a，三个方程组

均有解，则说明向量组(2)可以由向量组(1)线性表出

解： 对 作初等行变换，有

那么，由方程组 知，只要方程组总有唯一解，即时，必可由线性表出，而时，方程组无解，不能由线性表出。

由方程组知，方程组总有解，即必可由线性表出。

由方程组知，只要，方程组就有解，就可由线性表出，

因此，当时，向量组(2)可由向量组(1)线性表出。

反之，由于行列式

故，三个方程组恒有解，即，向量组(1)总可由向量组(2)线性表出，因此，时向量组(1)与(2)等价。

而时，不能由线性表出，向量组(1)与(2)不等价。

评注： 若未知向量的坐标而要判断能否线性表出的问题，通常是转换为非齐次线性方程组是否有解的讨论，如果向量的坐标没有给出而问能否线性表出，通常用线性相关及秩的理论分析、推理。3