[科普中国]-积分第一中值定理

定理定义

如果函数 在闭区间 上连续， 在 上不变号，并且 在闭区间 上是可积的，则在 上至少存在一个点 ，使下式成立：

定理证明由于 在 上不变号，不妨设 。并且由 在 上的连续性可知， 在 上存在最大值 和最小值 ，使得 ，将不等式两边同时乘以 ，得到：

,对上式在上 取积分得

若 ，上式等号成立， ，定理显然成立。

若 ，不等式两边同除以 ，有

由介值定理，存在 ，使得 ，即。定理得证。1

应用实例求极限。

解：取为，，，则，，并有

由于有界，因此

即原式的极限为0。2