[科普中国]-奇性传播定理

设有标量主象征是的零次特征带，在的邻域上；再设在上，。如果在上，，那么在上，也有(对于，若记，有，并且，则称在上)。特别地，如果，并且

那么如果有实主象征，

并且，那么也有，而且。此外，在哈密顿场的作用下，是不变的，也就是奇性沿着的零次特征带上传播1。

设p是一个给定的m阶偏微分算子，它的主象征为实值函数，则称

为的Hamilton向量场，它的积分曲线为下面方程组

的解，称为次特征带(或简称为次特征)，显然，若满足为过的次特征带，则由于

故有，这样的次特征带称为零次特征带。

下面叙述的算子p将满足条件：在p的特征集上，这样的算子称为主型算子(或称为狭义主型算子)，由(2)知，对主型算子，在其次特征带上任一点均有。

我们称次特征带在空间上的投影为次特征线。对于主型偏微分算子来说，它的次特征线不可能退化为一点2。

我们先考察一阶双曲型方程解的奇性传播定理，对于一阶线性偏微分方程，它的解容易直接求出，故解的奇性传播规律也不难得到。下面我们讨论一阶双曲型拟微分方程，它将成为对一般高阶方程解的奇性传播规律讨论的准备。

设P为一阶双曲型拟微分算子，它的主象征是的正齐一次函数，由于，故不妨认为以下讨论的P的形式为

其中为齐一次实函数，，它可以写成为，这里为次函数有如下的命题：

定理1 若P为(3)中定义的算子，，为的零次特征带，，如果，则整个均不属于。

定理2 设为m阶具系数的偏微分算子，它的主象征为实函数，且满足，u为满足的解，如果满足，则过的零次特征带上任一点均不属于。2