常系数微分算子(differential operator with constant coefficients)是系数为常数的线性偏微分算子。赋范向量空间E的连续自同态通常叫做有界算子,或简称为算子。 定义在E的向量子空间上(该子空间在E中稠),而在E中取值的所有线性映射则叫做E的非有界算子。常系数微分算子是赋以一致收敛范数的R之区间[a,b]上的全体连续函数之向量空间的非有界算子。
基本介绍常系数微分算子是系数为常数的线性偏微分算子,其一般形式为:
其中
为常数(实数或复数)。例如,拉普拉斯算子
热算子
,波算子
等都是常系数微分算子。线性偏微分算子理论中的若干重要问题,如基本解的存在性、局部可解性、亚椭圆性的判定等对于常系数情形均已完全解决1。
基本解的存在性定理基本解的存在性定理(theorem for existence offundamental solution)是关于基本解存在性的一个定理。该定理断言:每个非零的常系数微分算子 都有基本解,
的基本解E作为广义函数可如下构造:
,
其中
表示
的逆傅里叶变换。H为
中某个适当的区域,满足
,由基本解的存在可知常系数微分算子是局部可解算子。
亚椭圆常系数微分算子亚椭圆常系数微分算子(hypoelliptic differential operator with constant coefficients)是最基本的亚椭圆算子,设 是常系数微分算子,则下述条件中的每一个都是
为亚椭圆算子的充分必要条件:
1.以 记
集合
的距离,则当
时,
。
2.存在正的常数c及C,当 且
充分大时,不等式
成立。
3.记 ,对于每个非零多重指标
,当
且
时,有
。
4.存在正的常数c及C,当 且
充分大时,不等式
成立1。
施瓦兹定理**施瓦兹定理[Schwarz(th.de)]**设 为
的开集
上的连续可微的数值函数,且在
的点
处两次可微,则对
的任一相异元素偶
,必有
这个定理表明,在 上无限可微的全体函数之向量空间
的全体自同态之代数中,所有自同态
两两可交换。因此,由这些自同态生成的酉子代数是交换的;它的元素是常系数微分算子2。
定强微分算子对 定义的微分算子称为在
中具定强,若对任意固定的
,常系数微分算子
及
是等强的,即
下面的引理把这个条件改成通常更方便的形式。
引理1 设具定强,对固定的
令
并设
是弱于
的常系数算子的有限维向量空间的基底,则有
这里系数
唯一确定,在
为0且有与
的系数相同的可微性及连续性质3。
本词条内容贡献者为:
尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学