[科普中国]-常系数微分算子

常系数微分算子(differential operator with constant coefficients)是系数为常数的线性偏微分算子。赋范向量空间E的连续自同态通常叫做有界算子，或简称为算子。 定义在E的向量子空间上(该子空间在E中稠)，而在E中取值的所有线性映射则叫做E的非有界算子。常系数微分算子是赋以一致收敛范数的R之区间[a，b]上的全体连续函数之向量空间的非有界算子。

基本介绍常系数微分算子是系数为常数的线性偏微分算子，其一般形式为：

其中 为常数(实数或复数)。例如，拉普拉斯算子

热算子 ，波算子 等都是常系数微分算子。线性偏微分算子理论中的若干重要问题，如基本解的存在性、局部可解性、亚椭圆性的判定等对于常系数情形均已完全解决1。

基本解的存在性定理基本解的存在性定理(theorem for existence offundamental solution)是关于基本解存在性的一个定理。该定理断言：每个非零的常系数微分算子 都有基本解， 的基本解E作为广义函数可如下构造： ，

其中 表示 的逆傅里叶变换。H为 中某个适当的区域，满足 ，由基本解的存在可知常系数微分算子是局部可解算子。

亚椭圆常系数微分算子亚椭圆常系数微分算子(hypoelliptic differential operator with constant coefficients)是最基本的亚椭圆算子，设 是常系数微分算子，则下述条件中的每一个都是 为亚椭圆算子的充分必要条件：

1．以 记 集合 的距离，则当 时， 。

2．存在正的常数c及C，当 且 充分大时，不等式 成立。

3．记 ，对于每个非零多重指标 ，当 且 时，有 。

4．存在正的常数c及C，当 且 充分大时，不等式 成立1。

施瓦兹定理**施瓦兹定理[Schwarz(th.de)]**设 为 的开集 上的连续可微的数值函数，且在 的点 处两次可微，则对 的任一相异元素偶 ，必有

这个定理表明，在 上无限可微的全体函数之向量空间 的全体自同态之代数中，所有自同态

两两可交换。因此，由这些自同态生成的酉子代数是交换的；它的元素是常系数微分算子2。

定强微分算子对 定义的微分算子称为在中具定强，若对任意固定的，常系数微分算子及是等强的，即

下面的引理把这个条件改成通常更方便的形式。

引理1 设具定强，对固定的令并设是弱于的常系数算子的有限维向量空间的基底，则有

这里系数唯一确定，在为0且有与的系数相同的可微性及连续性质3。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学