[科普中国]-椭圆型方程组

椭圆型方程组(system of elliptic equations) 是描述稳定或定常状态的一类偏微分方程组。偏微分是分析数学的重要分支之一。包含未知函数及其偏导数的等式叫做偏微分方程。偏微分方程理论研究一个方程(组)是否有满足某些补充条件的解，有多少个解，解的各种性质及解的求法等。

概念椭圆型方程组(system of elliptic equations) 是描述稳定或定常状态的一类偏微分方程组。关于自变量x=(x1，x2，…，xn)的N个未知函数的N个2m阶线性方程组有如下形式：

其中u，f是具有N个分量的向量函数，

是N×N阶矩阵，B是阶数低于2m的微分算子，和式对所有足标k1，k2，…，k2m从0取到n。如果矩阵：

的行列式当ξ21+ξ22+…+ξ2n≠0时异于零，则称这个方程组在点x在彼得罗夫斯基意义下是椭圆型的。如果对任意实向量ζ=(ζ1，ζ2，…，ζN)≠0和具有：

的任何实数ξ1，ξ2，…，ξn，二次型：

就称这个方程组在点x是强椭圆型的。此处符号η·ζ表示N维向量的内积。1

偏微分方程分析数学的重要分支之一。包含未知函数及其偏导数的等式叫做偏微分方程。偏微分方程理论研究一个方程(组)是否有满足某些补充条件的解，有多少个解，解的各种性质及解的求法等。

微积分理论形成后不久，在18世纪初，人们就结合各种物理问题研究偏微分方程。最早引起数学家兴趣的是关于弦的振动问题。英国数学家泰勒在1713—1715年就导出了一根张紧的振动弦的基频。法国数学家达朗贝尔在1747年建立了第一个弦振动方程：

并且得到形如两个任意函数之和的解：

丹尼尔·伯努利和欧拉等人研究了这个方程的解，并且比达朗贝尔更完整地考虑了解的边界条件和初始条件。围绕着解用三角级数表示等问题在18世纪下半叶引起了一场激烈的争论。

1759年，欧拉考虑矩形鼓和球面波的振动，建立了二维和三维的波动方程。由于对万有引力的研究，出现了所谓的位势方程：

它首次出现在欧拉1752年的论文中。拉格朗日和勒让德，特别是后者对这个方程的解进行了深入研究，由此引出所谓的勒让德多项式。后来由于拉普拉斯的出色工作而又称这种方程为拉普拉斯方程。

一阶偏微分方程首先出现在几何问题和流体力学问题的研究中(1740年以后)，蒙日给出一阶偏微分方程一般理论的几何解释。在流体动力学中还出现了第一个偏微分方程组。19世纪初期，柯西和拉格朗日等解决了一阶偏微分方程的求解问题，其基本方法是化为求解一阶常微分方程组。

在整个18世纪，对偏微分方程的研究都是处于不自觉的状态。人们认识到解偏微分方程不需要什么新的特殊技巧，它与解常微分方程的不同之处在于解中可以出现任意函数。在这一时期，通常认为把它们化为常微分方程后便可求解，对偏微分方程理论的探讨还有待深入。

到了19世纪，随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程逐渐成为数学研究的中心。不仅出现了一些新的类型，而且已有类型的应用范围也不断扩大。

1822年，法国数学家傅立叶在研究热传导规律时，发现了(三维)热传导方程：

为了在各种定解条件下积分热传导方程，傅立叶首先系统地用三角级数的形式表示未知解，由此引起对傅立叶级数的研究。

1839年，德国数学家杜布瓦-雷蒙引入了偏微分方程的标准分类法，他分别称上述波动方程、位势方程和热传导方程为双曲型的、椭圆型的和抛物型的。至此，人们逐渐弄清了二阶线性偏微分方程的重要类型。

二阶以上的偏微分方程，很难化成常微分方程求解。求方程满足某种特定条件的解叫做定解问题。由于偏微分方程都有很强的实际背景，因此定解问题的提法也比较多。例如对于热传导方程，主要研究柯西问题;对于波动方程，研究最多的也是柯西问题和初边值问题;对于位势方程，则主要研究两种边值问题，第一边值问题被称为狄利克雷问题，第二边值问题被称为诺伊曼问题。

对于上述种种定解问题，到19世纪末，已有许多解法。但定解问题的系统理论到20世纪才趋于成熟。法国数学家阿达马在20世纪初建立了偏微分方程定解问题适定性的概念。根据他的观点，如果定解问题的解存在、唯一并且连续依赖于定解条件，那么就称之为适定的。阿达马被誉为二阶线性偏微分方程的总结者，他不仅对定解问题做出贡献，而且根据二阶方程的特征表达式对方程进行分类，为了研究不同类型方程的共性，他还提出一般方程基本解的概念，为偏微分方程理论的建立奠定了基础。

19世纪末，人们开始在解析函数范围内研究偏微分方程。柯西研究了满足某种初始条件的偏微分方程组，建立了著名的柯西存在性定理，他的工作后来被俄国数学家柯瓦列夫斯卡娅独立完成并推广。对于解析函数领域中的偏微分方程，人们还得到其他比较一般的结果。

在特殊类型的二阶方程得到充分的研究之后，数学家们转向一般的二阶方程，陆续得到一些结果。20世纪30年代以来，各种泛函分析方法被应用于偏微分方程的研究，不仅可以讨论二阶方程，而且发展了高阶方程的理论，并在一般的一阶方程组中也得到许多成果。偏微分方程理论发生了很大的变化。

20世纪40—50年代，人们逐渐认识到绝大多数的偏微分方程(组)无法按经典的分类进行研究，因此需要建立尽可能普遍适用的理论或给出新的分类法。瑞典数学家赫尔曼德、美国数学家卢伊等在这方面都有重要工作。

对于变系数线性方程和非线性方程的研究，在20世纪60年代以后获得了许多进展，不断发展出一些独特的数学方法。微分算子的概念有很多扩充，出现了拟微分算子和傅立叶积分算子等工具。在非线性问题的研究中，除不动点方法外，拓扑度方法和变分法都是十分有效的工具。1

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学