[科普中国]-鞅差序列

鞅差序列 (martingale-differencesequence)与鞅差概念相关。当期望值服从于过往值都为零的假设时，一个随机序列X是一个鞅差序列（MDS）。鞅差序列 (martingale-differencesequence)是一类随机序列。指部分和序列是鞅的随机序列。

概念鞅差序列 (martingale-differencesequence)是一类随机序列。指部分和序列是鞅的随机序列。设X={X(n)，n≥0}是定义在概率空间(Ω，F，P)上的随机序列。{Fn}n≥0是一上升σ代数族。称X为鞅差序列，如果下列条件成立：

1.X是{Fn}适应，即对每一n≥0，X(n)是Fn可测的。1

2.对每一n≥0，X(n)是可积的。

3.对每一n≥0，E[X(n+1)|Fn]=0 a.s.P。

如果Y={Y(n)，n≥0}是一{Fn}鞅，则由X(0)=Y(0)，X(n)=Y(n+1)-Y(n)(对n≥1)定义的序列X={X(n)，n≥0}是关于{Fn}的鞅差序列。反之，若X={X(n)，n≥0}是关于上升σ代数族{Fn}n≥0的鞅差序列，则由：

定义的Y={Y(n)，n≥0}是一{Fn}鞅。

鞅鞅是一类重要的随机过程。设{X(t)，t∈R+}是定义在概率空间(Ω，F，P)上适应于上升σ代数族{Ft}t∈R+的随机过程.称{X(t)，t∈R+}为{Ft}鞅，如果下列两条件成立：

1.对每一t∈R+，X(t)可积。

2.对任意t>s≥0，E[X(t)|Fs]=X(s) a.s.p。

由条件2立即推出E[X(t)]=E[X(s)]。martingale一词意指一种马具，即中文的“鞅”，但亦指西方赌博中的一种输后加倍下注的赌法。

在离散时间情形，鞅有如下直观意义：设X(0)表示赌徒开始参加赌博时的赌本，X(n)(n≥1)表示他在第n局赌博后的总赌金(即赌本X(0)与前n局的输赢之总和)，而Fn=σ(X(i)， i=0，1，…，n)，反映了前n局赌博的全部信息.如果{X(n)，n≥0}是关于{Fn}n≥0的鞅，则条件E[X(n+k)|Fn]=X(n)表示在已知前n局输赢的条件下，再经过k局(k≥1)赌博后，赌徒的总赌金在平均意义下是和他在第n局后的总赌金相等的。这就是说赌博是“公平的”。对于这种赌博，不管用什么赌法，按平均来说，赌徒最终不会从赌博中得益或输蚀。

鞅差设X={Xt，t≥0}为一随机过程，E(Xt|Xu，u≤s)表示 Xt关于{Xu，u≤s}的条件期望。若对任意的s≤t，E(Xt| Xu，u≤s)=0以概率1成立，则称X={Xt，t≥0}为鞅差。 若X={Xn，n∈N}为鞅，Yn=Xn-Xn-1，n≥1，X0=Y0，则 Y={Yn，n ∈N}为鞅差序列。反之，若Y={Yn，n ∈N}为鞅差序列，Xn=Yj，则X={Xn，n ∈N}为鞅。

随机过程随机过程是随时间推进的随机现象的数学抽象。设(Ω，ℱ，P)为概率空间，T为指标t的集合，如果对每个t∈T，有定义在Ω上的实随机变量X(t)与之对应，就称随机变量族X={X(t)，t∈T}为一随机过程。

人们对一些特殊的随机过程早有研究。1907年前后，俄国数学家马尔可夫提出并研究一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图式，后人称这种图式为马尔可夫链。1923年，美国数学家N.维纳从数学上定义了布朗运动，后来也称数学上的布朗运动为维纳过程。这种过程至今仍是随机过程的重要研究对象。通常认为，随机过程一般理论的研究于20世纪30年代才开始。1931年，原苏联数学家柯尔莫戈罗夫发表了《概率论的解析方法》;1934年，辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程和平稳过程奠定了理论基础。稍后，法国数学家莱维从样本函数角度研究随机过程，引进一般可加过程并研究了它的样本函数结构，他出版的关于布朗运动与可加过程的两本书中蕴含着丰富的概率思想。1953年，美国数学家J.L.杜布出版的著作《随机过程论》中系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。他的工作推动了鞅理论的发展。1953年日本数学家伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论，定义了对布朗运动的一种随机积分——伊藤积分，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程，而流形上的随机微分方程理论正方兴未艾。20世纪60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面都做出了较好的工作。1

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学