[科普中国]-有限变差过程

一过程(At)t∈R+称为增过程，如果它的所有轨道为R+上的非负有限值、右连续增函数，两个增过程之差称为有限****变差过程(process with finite variation)1。

定义有限变差过程是一类随机过程，指可以表为两个增过程之差的随机过程。设是一有限变差过程，把

称为它的变差过程，其中积分意义是对每个固定的在勒贝格-斯蒂尔杰斯意义下的积分，称为可积变差过程，如果是可积的，这相当于可表为两个可积增过程之差1。

相关分析一过程称为增过程，如果它的所有轨道为上的非负有限值、右连续增函数，两个增过程之差称为有限****变差过程。

显然，有限变差过程为右连左极过程，从而适应有限变差过程为可选过程。此外，如果令，则一切有限变差过程都是关于适应的。

设A为一有限变差过程，我们约定，对一切，令，对，我们约定。

对每个上的有限变差函数可以唯一地分解为:，其中为连续有限变差函数，为纯断有限变差函数，我们有

我们称过程为A 的连续部分，称为A的纯断部分(或跳部分)。2

相关定理设A为一有限变差过程，称A为纯断的，如果。

下一定理描绘了适应及可料有限变差过程的结构。

定理1 设A 为一适应(相应地，可料)有限变差过程，则亦然(从而为可料)。此外，存在一列其图两两不相交的严格正停时(相应地，可料时)，使得

下一定理是前一定理的推论。

定理2 设A 为一纯断适应(相应地，可料)有限变差过程，则存在一列严格正停时(相应地，可料时)(这里，的图一般并非两两不相交)，及一列实数，使得对一切，有

如果A为增过程，每个可取为正实数。

定理3 设为一适应(相应地，可料)有限变差过程，则A的变差过程为适应(相应地，可料)增过程，且A可表为两个适应(相应地，可料)增过程之差。

定义设为一可测过程，为一有限变差过程，如果对一切对一切，Lebesgue-Stieltjes积分

存在且有穷(即，我们称关于A可积，这时，令

则为有限变差过程，称为H关于A的随机Stieltjes积分(或按轨道的Stieltjes积分，记为)。

定理4设为一可测过程，为一有限变差过程，且H关于A可积。

1) 如果为循序的，且为适应的，则为适应的；

2) 如果为可料的，且为可料的，则为可料的2。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学