[科普中国]-局部超调和函数

在Brelot调和空间(X，H)中，设G为开集，则称H(G)中的函数为G上的调和函数。对G上的下半连续函数u，若G中每一点x有一个开邻域Vx，使得对任何一个闭包包含于Vx的正则区域D恒有μDu≤u在D成立，则称u在G上(相对于H)是局部超调和的。用UH(G)表示G上所有相对于H是局部超调和的函数全体，则容易看到，对所有开集都作同样考虑得到的函数簇UH是X上的一个超调和簇且当记U'=UH时有HU'=H1。

基本介绍局部超调和函数(locally hyperharmonic function)是指在每一点的某个邻域上有超调和性的函数。设U是一个开集，u是U上的取值于 的下半连续函数，如果对每一 ，存在 的开邻域 ，使得对任何满足 的正则区域 ，在 上恒有 ( 是V的U调和测度)，那么u称为U上的(相对于H的)局部超调和函数，记 为U上的局部超调和函数全体，则 是X上的超调和簇，称为由H产生的超调和簇，并且，H就是与 相关的调和簇2。

相关定理引理1 设 是Brelot调和空间，G为区域且 ，若u在G是正的(即 )且有 使得 ，则u在G上恒等于01。

证明: 设 ，则 为 中的单调增加列，因为 有界(实际上，每个 )，由公理3知

故对G中的x都有 ；所以 。

引理2 设是Brelot调和空间，D是一个正则区域，W是一个开集使得 ．那么对D中每个x成立

引理3 设是Brelot调和空间，D是X的一个区域，。若u在D的一个非空开子集W上恒等于，则它在D上也恒等于．换言之，u在D要么恒等于，要么在D的一个稠密子集恒等于。

**证****明：**设{在x的一个开邻域上恒等于}，显然A是包含W的开集，我们断言A=D，否则，设G是A的一个连通分支，于是且．因D是连通的，非空，设．因，由局部超调和函数的定义，存在z的一个开邻域V，使得对任何一个闭包包含在V的正则区域U都有，取定一个及一个正则区域U使得且U的闭包包含在．因为G是连通的，故非空。由于u在上恒等于，据上一引理知：对任意有；故

这说明，与z的定义矛盾，故。

定理4 设是Brelot调和空间，D是X的一个区域，且在D上有，若存在D中的点z使得，则。

**证明：**令，则G为开集，若G非空，令，显然，．因为在G上。由上一引理知，在D上也有，这表明对任意有。

定理5 设是Brelot调和空间，G是开集，若存在使得，则G是相对于的一个MP集。

定理6 若是Brelot调和空间，则是一个调和空间，而且每个局部超调和函数都是超调和函数，即：若G是开集，，则在任何一个其闭包包含于G的正则区域D上有。

（关于文中所有结论的详细证明请参考相应书籍1）。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学