在Brelot调和空间(X,H)中,设G为开集,则称H(G)中的函数为G上的调和函数。对G上的下半连续函数u,若G中每一点x有一个开邻域Vx,使得对任何一个闭包包含于Vx的正则区域D恒有μDu≤u在D成立,则称u在G上(相对于H)是局部超调和的。用UH(G)表示G上所有相对于H是局部超调和的函数全体,则容易看到,对所有开集都作同样考虑得到的函数簇UH是X上的一个超调和簇且当记U'=UH时有HU'=H1。
基本介绍局部超调和函数(locally hyperharmonic function)是指在每一点的某个邻域上有超调和性的函数。设U是一个开集,u是U上的取值于 的下半连续函数,如果对每一
,存在
的开邻域
,使得对任何满足
的正则区域
,在
上恒有
(
是V的U调和测度),那么u称为U上的(相对于H的)局部超调和函数,记
为U上的局部超调和函数全体,则
是X上的超调和簇,称为由H产生的超调和簇,并且,H就是与
相关的调和簇2。
相关定理引理1 设 是Brelot调和空间,G为区域且
,若u在G是正的(即
)且有
使得
,则u在G上恒等于01。
证明: 设 ,则
为
中的单调增加列,因为
有界(实际上,每个
),由公理3知
故对G中的x都有
;所以
。
引理2 设是Brelot调和空间,D是一个正则区域,W是一个开集使得
.那么对D中每个x成立
引理3 设是Brelot调和空间,D是X的一个区域,
。若u在D的一个非空开子集W上恒等于
,则它在D上也恒等于
.换言之,u在D要么恒等于
,要么在D的一个稠密子集恒等于
。
**证****明:**设{
在x的一个开邻域上恒等于
},显然A是包含W的开集,我们断言A=D,否则,设G是A的一个连通分支,于是
且
.因D是连通的,
非空,设
.因
,由局部超调和函数的定义,存在z的一个开邻域V,使得对任何一个闭包包含在V的正则区域U都有
,取定一个
及一个正则区域U使得
且U的闭包包含在
.因为G是连通的,故
非空。由于u在
上恒等于
,据上一引理知:对任意
有
;故
这说明
,与z的定义矛盾,故
。
定理4 设是Brelot调和空间,D是X的一个区域,
且在D上有
,若存在D中的点z使得
,则
。
**证明:**令,则G为开集,若G非空,令
,显然,
.因为在G上
。由上一引理知,在D上也有
,这表明对任意
有
。
定理5 设是Brelot调和空间,G是开集,若存在
使得
,则G是相对于
的一个MP集。
定理6 若是Brelot调和空间,则
是一个
调和空间,而且每个局部超调和函数都是超调和函数,即:若G是开集,
,则在任何一个其闭包包含于G的正则区域D上有
。
(关于文中所有结论的详细证明请参考相应书籍1)。
本词条内容贡献者为:
孙和军 - 副教授 - 南京理工大学