[科普中国]-诺伊曼一莫根施特恩解

冯·诺伊曼和摩根斯坦恩在1944年提出了稳定集这个解概念。

对博弈 的分配集 的一个子集 ，

(1) 如果 中的任何两个分配都没有优超关系(即不存在一个分配通过一个联盟占优另一个分配)，则称 是内部稳定的。

(2) 如果任取 外的一个分配 ，存在分配 ，使得 优超 ，则称 是外部稳定的。既是内部稳定的，又是外部稳定的分配集称为稳定集(也称为N-M解，诺伊曼-莫根施特恩解)2。

定理 核心必定属于稳定集，但稳定集不一定是核心。

核心里的任一个分配都不被其他分配优超，所以核心一定满足内部稳定，如果核心中有一个分配 不属于稳定集，则稳定集里一定存在一个分配 优超分配 ，这与核心中的任一分配不被优超矛盾，所以核心属于稳定集2。

有一家商店在搞打折促销的活动，优惠的方法是：单买一件棉衣100元；如果一次购买2件棉衣，第二件半价，即只要150元，但没有其他形式的优惠．现恰有互不相识的甲、乙、丙3人在店里都想买一件棉衣，则他们如果两个人合作，两人总共可以少花50元，如果3个人合作，也只可以节省50元，讨论该问题的稳定集。

解： 这个博弈的特征函数可以写为

一个博弈可能形成哪一个联盟，这要考虑这个博弈所面对的现实环境的多种因素，如本题这个简单的例子，对于两人联盟，联盟外的第三个局中人会设法（如给联盟中一个局中人更高的收益）使一个局中人脱离原联盟与自己组成联盟。而三个人的联盟与两个人的联盟的收益一样多，三个人结成的大联盟更有问题，前面已经假设一个联盟形成后，在整个博弈过程中不变，因此形成了三人大联盟，就假设三人大联盟在分析时不破裂，注意这是决策的分析，不是现实中的实施，分析要全面，只有分析全面了，现实中的实施才更有保障。

这个博弈例子没有核心。

分配集的一个子集 就是这个博弈的一个稳定集 。因为这个集合中的任两个分配之间不存在优超关系。对集合外的一分配，例如 ，这里 。分配 中关于联盟 优超分配 。

现对稳定集 外的任一分配 。因为是分配，所以 ，假设稳定集中的三个分配都不优超分配 。

分配 不优超分配 ，所以 或者 ；

分配 不优超分配 ，所以 或者 ；

分配 不优超分配 ，所以 或者 ；

因此 或者 至少有两个必须同时成立，设是 和 ，又因为 是一个分配，所以 ，要这些都成立，只有 ，且 。这是稳定集中的一个分配，与 是稳定集外的分配矛盾，因此假设错误，则集合 外的任一分配都至少被该集合内的一个分配优超。

核心是一个唯一确定的集合，但稳定集不是，一个博弈可以有多个稳定集，并且稳定集也有可能是空集，卢卡斯(lucas)在1968年举出下面这个没有稳定集的合作博弈：

博弈 ，其中 ，有特征函数：

对于其他的联盟 ，有 。卢卡斯证明了这个博弈没有稳定集2。