[科普中国]-平稳点过程

平稳点过程(stationary point process)是一种随机点过程，在许多文献中是指具有平稳增量的随机点过程(等价地说，计数过程){N(t)，t≥0}，即对任意实数t>s≥0和h>0，过程在区间(s，t]和(s+h，t+h]中的点数(或者说，增量Ns，t=N(t)-N(s)和Ns+h，t+h=N(t+h)-N(s+h))有相同的分布。齐次泊松过程和平衡更新过程都是平稳点过程的特例1。

基本介绍具有平稳增量的计数过程称为**平稳点过程。**平衡更新过程是平稳点过程的一个例子。

应当指出，有些文献把这一术语用于对任意有限多个区间，其增量有平稳联合分布的点过程。即对任意整数和实数和，增量

和

有相同的k维联合分布。这时，为了把前面提到的具有平稳区间分布的点过程和这种具有较强的平稳性要求的点过程区别开来，常常把前者称为粗平稳点过程1。

相关定理及证明定理1 除了对一切有的平凡情形以外，对任意平稳点过程有

其中并不排除。

证明： 令且注意到取非负值，且非减，又

因此

而由归纳法，对一切有

于是，令a使，对一切有

现在定义，由(2)我们得

为了证明，我们考虑两种情形。首先，假设，此时，固定，取使。现在对存在一个整数n使

由的单调性和式(2)可知，对这个区间中的一切t有

因此

由于是任意的，且当时，由此推出。

现在假定，此时，固定任意很大的A>0，取s使，则由式(3)推出对一切有

它蕴含，这就完成了证明2。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学