[科普中国]-重随机泊松过程

概述

重随机泊松过程（doubly stochastic Poissonprocess）亦称柯克斯过程一类随机点过程。是柯克斯于1955年在研究处于随机环境的泊松过程时引入的。这类过程可以看做是点发生强度本身是一个随机过程（称为强度过程）的泊松过程。其中强度过程是由反映周围环境或被传送的信息等外部因素支配的。更确切地说，重随机泊松过程在给定了强度过程的条件下是具有给定强度的泊松过程。因此这类过程也称为条件泊松过程。

定义和例子通过允许泊松过程的强度不仅可随时间而变化，而且还会随环境等因素随机地改变，即强度本身是一非负实值随机过程时，我们就得到所谓重随机泊松过程。

定义1：点过程称做具有强度过程的重随机泊松过程（doubly stochastic Poissonprocess），如果对于过程的几乎所有现实，当给定时点过程是具有时倚强度的泊松过程。

因为按定义，重随机泊松过程是在给定了随机强度的条件下是一（带时倚强度的）泊松过程，所以人们又把这类过程称作条件泊松过程。

D.Cox于1955年首先引入并讨论了重随机泊松过程，所以也有人把这类过程称作Cox（柯克斯）过程。他在研究由于纬纱中断引起纺纱机的停机问题时认为，如果纺纱机的工作环境（如温度、湿度等）和使用的纬纱质量完全不变时，纬纱中断的现象可用一具有常数强度的齐次泊松过程来描述。但是，实际上由于工作环境会发生变化，纬纱的质量（例如，来源不同）也可能变化，因而强度也随之改变。所以不能简单地用一强度恒定不变的齐次泊松过程描述纬纱中断现象。由于工作环境和纬纱质量的变化通常是随机的，从而强度的改变也是随机的。为了描述这样的纬纱中断引起的停机事件，我们必须引入和研究重随机泊松过程。

在物理学中也有类似的现象。例如，激光通讯系统的发送部分发出作为载波的激光投射到接收部分的光检测器上。激光引起的光电子流形成一泊松过程，要传输的信号被转化为一定频率和相位的无线电波（称作副载波）后用来调制载波的激光强度。这样，在接收部分的检测器接收到的光电子流形成一强度随机变化的泊松过程，即重随机泊松过程。

定义2：设是基本概率空间，是一满足（以概率1）的非负不减右连续实值随机过程。以表示在上使得过程可测的最小代数。我们把点过程称作具有累积强度过程（又称均值过程）的重随机泊松过程，如果它满足下列两条件：

1、对有条件独立增量，即对任意整数，实数和非负整数，以概率1有

2、对有条件泊松分布，即对任意和非负整数，以概率1有