[科普中国]-凸对策

凸对策(convex game)是一类有特殊赢得函数的对策，如果对于局中人Ⅰ的任意纯策略x∈X，赢得函数A(x，y)是y的一个凸函数，称此对策G为凸对策1。

基本概念设 为局中人集， 上对策全体仍记为 或 ， (或 )为 维欧几里德空间。

任给 ，定义 中超平面

在不引起混淆的前提下，记 为 。

设为人对策。如果对，均有

则称为凸对策(convexgame)。如果当均不相同时，(2)中严格不等式成立，则称为严格凸对策(strictly convex game)2。

凸对策的性质下面介绍凸对策的一些性质。

性质1对固定的上所有凸对策全体形成凸锥(convex cone)2。

性质2 设，则是凸对策的充要条件为:

对任意成立。

性质2表明凸对策具有与凸函数类似性质，因为当函数满足时，则,是凸的，因此，凸对策充要条件是二阶差分大于或等于零。这也是凸对策名称的由来。

性质3凸对策在策略等价意义下不变，即若是凸对策，而和策略等价，则也是凸对策。

性质4 ，则下列条件等价

(i) 是凸对策；

(ii)

(iii)。

给定，由于核心C是凸多面体，为了刻画凸对策解的结构，我们引进一些概念。，记，显然，为方便起见，记。

定义1 给定，如果对，则称核心构形(core configuration)为完全构形(complete configuration)。

定义2 给定，如果核心构形满足，且成立，则称为有规则(regular)构形。

性质5 设为凸对策，则。

推论设，则是凸对策的充要条件是对，有。

引理7设，为有规则构形，则对任何递增序列，。特别地，当，有规则构形为完全构形。

性质6 给定，是凸对策的充要条件是核心构形是有规则构形。

性质7设是凸对策，则核心是唯一的稳定集。

下面将转向凸对策的核的研究。如果是0-单调对策，则的核与准核相等，即

性质7设v是凸对策，则

性质8设是凸对策，于是只包含一个点。

因此，如果是一凸对策，核、准核以及核子三者都是重合的，可用求字典序的方法来求出凸对策的核2。

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武伟 - 高级工程师 - 天津直升机有限责任公司